Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 6. Calcula

\int \cos(\ln x)\,dx

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;I = x\cos(\ln x) + J, \qquad J = x\operatorname{sen}(\ln x) - I \;\Longrightarrow\; 2I = x\bigl[\operatorname{sen}(\ln x) + \cos(\ln x)\bigr]\;}

\boxed{\;\int\cos(\ln x)\,dx = \frac{x}{2}\Bigl[\operatorname{sen}(\ln x) + \cos(\ln x)\Bigr] + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral cíclica: al aplicar la integración por partes dos veces reaparece la integral de partida, y entonces se despeja como si fuera una incógnita.

La elección correcta es

u = \cos(\ln x)

dv = dx

(es decir,

v = x

): así el logaritmo interior queda dentro del coseno, se deriva con la regla de la cadena y el

\tfrac1x

que aparece se cancela con la

x

v

Desarrollo

Primera integración por partes.

u = \cos(\ln x) \;\Longrightarrow\; du = -\operatorname{sen}(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,dx

dv = dx \;\Longrightarrow\; v = x

I = \int\cos(\ln x)\,dx = x\cos(\ln x) + \int x\cdot\frac{\operatorname{sen}(\ln x)}{x}\,dx = x\cos(\ln x) + \int\operatorname{sen}(\ln x)\,dx

Segunda integración por partes sobre

J = \displaystyle\int\operatorname{sen}(\ln x)\,dx

u = \operatorname{sen}(\ln x) \;\Longrightarrow\; du = \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = dx \;\Longrightarrow\; v = x

J = x\operatorname{sen}(\ln x) - \int x\cdot\frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx = x\operatorname{sen}(\ln x) - I

Aparece de nuevo $I$ : se despeja.

I = x\cos(\ln x) + \Bigl[x\operatorname{sen}(\ln x) - I\Bigr]

2I = x\cos(\ln x) + x\operatorname{sen}(\ln x)

I = \frac{x}{2}\Bigl[\operatorname{sen}(\ln x) + \cos(\ln x)\Bigr] + C

Comprobación (derivando el resultado):

\frac{d}{dx}\left\{\frac{x}{2}\bigl[\operatorname{sen}(\ln x) + \cos(\ln x)\bigr]\right\} = \frac{1}{2}\bigl[\operatorname{sen}(\ln x) + \cos(\ln x)\bigr] + \frac{x}{2}\cdot\frac{\cos(\ln x) - \operatorname{sen}(\ln x)}{x}

= \frac{\operatorname{sen}(\ln x) + \cos(\ln x) + \cos(\ln x) - \operatorname{sen}(\ln x)}{2} = \cos(\ln x) \quad \checkmark

(Alternativa: el cambio $t = \ln x$ , con $x = e^{t}$ y $dx = e^{t}dt$ , transforma la integral en $\int e^{t}\cos t\,dt$ , otra integral cíclica clásica que lleva al mismo resultado.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando al integrar por partes reaparece la integral original, no has fallado: es una integral cíclica y el paso siguiente es despejarla. Lo único imprescindible es mantener el mismo criterio de elección ( $u$ la función trigonométrica, $dv = dx$ ) en las dos vueltas; si lo cambias, llegas a la identidad $I = I$ y vuelves al principio.

No pierdas de vista la regla de la cadena: la derivada de $\cos(\ln x)$ es $-\operatorname{sen}(\ln x)\cdot\frac1x$ , y ese $\frac1x$ es precisamente lo que se cancela con la $v = x$ . Sin él la integral no se cerraría.

Y añade la constante $C$ solo al final, después de despejar: si la arrastras desde el principio acabas dividiéndola entre dos, lo cual no es incorrecto pero sí innecesariamente confuso.