Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula los valores de

a

b

sabiendo que la función

f : (0,+\infty)\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = a\,x^{2}+b\ln(x)

, donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en

x = 1

y que

\int_{1}^{4}f(x)\,dx = 27-8\ln(4)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = 2ax+\frac bx; \qquad f'(1) = 2a+b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -2a\;}

\boxed{\;\int_{1}^{4}f = 21a+b\,(4\ln4-3) \quad \bigl(\text{con } \textstyle\int\ln x\,dx = x\ln x-x\bigr)\;}

\boxed{\;\text{Con } b = -2a: \ a\,\bigl(27-8\ln4\bigr) = 27-8\ln4 \;\Longrightarrow\; a = 1\;}

\boxed{\;a = 1, \ b = -2: \quad f(x) = x^{2}-2\ln x \quad (f''(1) = 4>0, \text{ mínimo})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos condiciones, dos incógnitas:

Extremo relativo en $x=1$ : $\;f'(1) = 0$ , que da una relación sencilla entre $a$ y $b$ .
La integral: hay que calcular $\int_{1}^{4}\bigl(ax^{2}+b\ln x\bigr)dx$ en función de $a$ y $b$ y compararla con el dato.

La primitiva del logaritmo hay que saberla:

\;\int\ln x\,dx = x\ln x-x

.

Conviene usar primero la condición del extremo (más simple) para reducir a una incógnita.

Desarrollo

1) El extremo relativo.

f'(x) = 2a x+\frac{b}{x} \;\Longrightarrow\; f'(1) = 2a+b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -2a

2) La integral.

\int_{1}^{4}a x^{2}\,dx = a\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{4} = a\cdot\frac{64-1}{3} = 21a

\int_{1}^{4}b\ln x\,dx = b\Bigl[x\ln x-x\Bigr]_{1}^{4} = b\Bigl[\bigl(4\ln4-4\bigr)-\bigl(0-1\bigr)\Bigr] = b\,\bigl(4\ln 4-3\bigr)

\int_{1}^{4}f = 21a+b\,\bigl(4\ln4-3\bigr)

Sustituyendo $b = -2a$ .

21a-2a\,\bigl(4\ln4-3\bigr) = 21a-8a\ln 4+6a = 27a-8a\ln 4 = a\,\bigl(27-8\ln4\bigr)

Igualando al dato.

a\,\bigl(27-8\ln4\bigr) = 27-8\ln 4 \;\Longrightarrow\; a = 1

(Se puede dividir porque $27-8\ln4 \approx 27-11{,}09 \neq 0$ .)

a = 1, \qquad b = -2 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = x^{2}-2\ln x

Comprobaciones.

f'(x) = 2x-\frac2x \;\Longrightarrow\; f'(1) = 0 \;\checkmark

f''(x) = 2+\frac{2}{x^{2}} \;\Longrightarrow\; f''(1) = 4 > 0: \ \text{es un \textbf{mínimo}} \;\checkmark

\int_{1}^{4}\bigl(x^{2}-2\ln x\bigr)dx = 21-2\,(4\ln4-3) = 27-8\ln 4 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Ten memorizada $\int\ln x\,dx = x\ln x-x$ : es la clave de la segunda condición y sale por partes con $dv = dx$ .

Usa la condición más simple primero ( $b=-2a$ ): así la integral queda con una sola incógnita y el despeje es inmediato. Al revés tendrías un sistema con logaritmos.

Al evaluar $\bigl[x\ln x-x\bigr]_{1}^{4}$ , en $x=1$ el término $x\ln x$ vale $0$ pero queda $-1$ : ese $+1$ al restar es el que hace que aparezca el $27$ del enunciado.