Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{2}^{4}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}}}\,dx \qquad \left(\text{Sugerencia: cambio de variable } t = \sqrt{e^{x}}\,\right)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \sqrt{e^{x}} = e^{x/2}: \quad e^{x} = t^{2}, \quad dx = \frac{2\,dt}{t}\;}

\boxed{\;\int\frac{t^{2}}{1+t}\cdot\frac{2dt}{t} = \int\frac{2t}{1+t}dt = \int\left(2-\frac{2}{t+1}\right)dt = 2t-2\ln(t+1)\;}

\boxed{\;F(x) = 2e^{x/2}-2\ln\bigl(e^{x/2}+1\bigr)\;}

\boxed{\;\int_{2}^{4} = 2\bigl(e^{2}-e\bigr)+2\ln\frac{e+1}{e^{2}+1} \approx 7{,}71\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cambio de variable con la sugerencia dada. Conviene escribir

\sqrt{e^{x}} = e^{x/2}

, que hace todo más transparente:

t = e^{x/2} \;\Longrightarrow\; t^{2} = e^{x} \;\Longrightarrow\; dt = \frac12 e^{x/2}\,dx = \frac{t}{2}\,dx \;\Longrightarrow\; dx = \frac{2\,dt}{t}

Tras el cambio queda

\int\frac{2t}{1+t}\,dt

, una racional con grados iguales: hay que dividir.

Y como es una integral definida, o bien se cambian los límites, o bien se deshace el cambio antes de aplicar Barrow. Haremos lo segundo.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt{e^{x}} = e^{x/2} \;\Longrightarrow\; e^{x} = t^{2}, \qquad dx = \frac{2\,dt}{t}

Sustituyendo.

\int\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}}}\,dx = \int\frac{t^{2}}{1+t}\cdot\frac{2\,dt}{t} = \int\frac{2t}{1+t}\,dt

La división (grados iguales):

\frac{2t}{1+t} = \frac{2\,(t+1)-2}{t+1} = 2-\frac{2}{t+1}

Integrando.

\int\left(2-\frac{2}{t+1}\right)dt = 2t-2\ln\lvert t+1\rvert

Deshaciendo el cambio. Como

t = e^{x/2} > 0

, también

t+1>0

F(x) = 2e^{x/2}-2\ln\bigl(e^{x/2}+1\bigr)

Comprobación (derivando).

F'(x) = e^{x/2}-2\cdot\frac{\frac12 e^{x/2}}{e^{x/2}+1} = e^{x/2}-\frac{e^{x/2}}{e^{x/2}+1} = \frac{e^{x}+e^{x/2}-e^{x/2}}{e^{x/2}+1} = \frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}}} \;\checkmark

Regla de Barrow.

F(4) = 2e^{2}-2\ln\bigl(e^{2}+1\bigr) \qquad F(2) = 2e-2\ln\bigl(e+1\bigr)

\int_{2}^{4}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}}}\,dx = 2e^{2}-2e-2\ln\bigl(e^{2}+1\bigr)+2\ln(e+1)

= 2\bigl(e^{2}-e\bigr)+2\ln\frac{e+1}{e^{2}+1} \approx 2\,(7{,}389-2{,}718)+2\ln\frac{3{,}718}{8{,}389} \approx 9{,}342-1{,}628 = 7{,}71

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Consejo

Escribe $\sqrt{e^{x}} = e^{x/2}$ desde el principio: así el cambio $t = e^{x/2}$ da $dt = \frac t2\,dx$ de forma limpia, sin pelearse con la derivada de una raíz.

Tras el cambio, $\frac{2t}{1+t}$ tiene grados iguales: hay que dividir antes de integrar. No es un logaritmo directo.

Si prefieres no deshacer el cambio, cambia también los límites: $t(2) = e$ y $t(4) = e^{2}$ . Lo que no puedes hacer es mezclar límites en $x$ con primitiva en $t$ .