Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2014 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Considera la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = x^{2}e^{-x^{2}}

.

a) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1,25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f \text{ es par y } f\geq0; \text{ dominio } \mathbb{R} \Rightarrow \text{sin asíntotas verticales}\;}

\boxed{\;\text{a) } \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} = 0 \;\Longrightarrow\; \text{A.H. } y = 0 \text{ en ambos lados}\;}

\boxed{\;f'(x) = -2x\,(x-1)(x+1)\,e^{-x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1,\, 0,\, 1\;}

\boxed{\;\text{Máximos } \left(\pm1,\tfrac1e\right); \quad \text{mínimo } (0,0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Antes de calcular nada, dos observaciones que ahorran mucho trabajo:

$f$ es par: $f(-x) = f(x)$ . La gráfica es simétrica respecto del eje $OY$ , así que basta estudiar $x\geq0$ y reflejar.
$f(x)\geq0$ siempre, y $f(x) = 0$ solo en $x=0$ .

El dominio es todo

\mathbb{R}

(no hay denominadores), luego no hay asíntotas verticales. En

\pm\infty

la exponencial

e^{-x^{2}}

gana con holgura al polinomio.

Al derivar,

e^{-x^{2}}

sale factor común y nunca se anula: los puntos críticos son las raíces de un polinomio.

Desarrollo

a) Asíntotas. No hay verticales:

f

es continua en

\mathbb{R}

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{2x\,e^{x^{2}}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x^{2}}} = 0

Por paridad, el límite en

-\infty

es también

0

\textbf{Asíntota horizontal } y = 0 \text{ en } +\infty \text{ y en } -\infty

(Al haber asíntota horizontal en ambos lados, no hay oblicuas.)

b) La derivada.

f'(x) = 2x\,e^{-x^{2}}+x^{2}\bigl(-2x\bigr)e^{-x^{2}} = 2x\,e^{-x^{2}}\bigl(1-x^{2}\bigr)

f'(x) = -2x\,(x-1)(x+1)\,e^{-x^{2}}

Puntos críticos. Como

e^{-x^{2}}>0

x = -1, \qquad x = 0, \qquad x = 1

Signo de $f'$ .

x<-1: \; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece} \qquad -1<x<0: \; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

0<x<1: \; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece} \qquad x>1: \; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

\text{Crece en } (-\infty,-1)\cup(0,1) \qquad \text{Decrece en } (-1,0)\cup(1,+\infty)

Extremos relativos.

x = -1: \ \text{de crecer a decrecer} \Rightarrow \textbf{máximo}, \quad f(-1) = e^{-1} = \frac1e \approx 0{,}37

x = 0: \ \text{de decrecer a crecer} \Rightarrow \textbf{mínimo}, \quad f(0) = 0

x = 1: \ \text{de crecer a decrecer} \Rightarrow \textbf{máximo}, \quad f(1) = \frac1e \approx 0{,}37

c) La gráfica. Simétrica respecto del eje

OY

, siempre

\geq0

, con dos jorobas de altura

\frac1e

x=\pm1

, un mínimo (tangente horizontal) en el origen y pegándose al eje

OX

por ambos lados.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Aprovecha que $f$ es par: los resultados a la izquierda son el reflejo de los de la derecha. Sirve de comprobación (los dos máximos deben valer lo mismo) y ahorra la mitad del estudio.

Al derivar, saca $e^{-x^{2}}$ factor común: como es siempre positivo, el signo de $f'$ lo deciden las raíces del polinomio $-2x(x^{2}-1)$ . Sin ese paso el estudio de signos se complica mucho.

Ojo con la regla de la cadena: $\bigl(e^{-x^{2}}\bigr)' = -2x\,e^{-x^{2}}$ . Olvidar el $-2x$ deja una derivada con un solo cero y te haría perder los dos máximos.