Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Se consideran las funciones

f\colon[0,+\infty)\to\mathbb{R}

g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definidas por

f(x) = \sqrt{3x} \qquad g(x) = \frac13 x^{2}

a) [0,5 puntos] Haz un esbozo de sus gráficas.

b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\sqrt{3x} = \frac{x^{2}}{3} \;\Longrightarrow\; 27x = x^{4} \;\Longrightarrow\; x\,(x^{3}-27) = 0\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (0,0) \text{ y } (3,3); \ \text{arriba va } f \ \bigl(f(1) = \sqrt3 > g(1) = \tfrac13\bigr)\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{3}\left[\sqrt3\,x^{1/2}-\frac{x^{2}}{3}\right]dx = \left[\frac{2\sqrt3}{3}x^{3/2}-\frac{x^{3}}{9}\right]_{0}^{3}\;}

\boxed{\;A = 6-3 = 3 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al igualar aparece una raíz: se eleva al cuadrado y luego se comprueban las soluciones.

\sqrt{3x} = \frac{x^{2}}{3} \;\Longrightarrow\; 3x = \frac{x^{4}}{9} \;\Longrightarrow\; 27x = x^{4} \;\Longrightarrow\; x\,\bigl(x^{3}-27\bigr) = 0

Para integrar, escribe la raíz como potencia:

\;\sqrt{3x} = \sqrt3\,x^{1/2}

, cuya primitiva es

\sqrt3\cdot\frac23 x^{3/2}

Desarrollo

a) Las gráficas.

$f(x) = \sqrt{3x}$ : media parábola tumbada, desde el origen y creciente (dominio $x\geq0$ ).
$g(x) = \frac{x^{2}}{3}$ : parábola de ramas hacia arriba, vértice en el origen, bastante abierta.

Los puntos de corte.

\sqrt{3x} = \frac{x^{2}}{3}

Elevando al cuadrado (ambos miembros son

\geq0

para

x\geq0

3x = \frac{x^{4}}{9} \;\Longrightarrow\; 27x = x^{4} \;\Longrightarrow\; x\,\bigl(x^{3}-27\bigr) = 0

x = 0 \qquad \text{o} \qquad x^{3} = 27 \;\Longrightarrow\; x = 3

Comprobación (por si hubiera soluciones falsas):

x = 0: \ 0 = 0 \;\checkmark \qquad x = 3: \ \sqrt9 = 3 \ \text{ y } \ \frac93 = 3 \;\checkmark

\text{Cortes: } (0,\,0) \qquad \text{y} \qquad (3,\,3)

b) El área. ¿Quién va arriba? En

x = 1

f(1) = \sqrt3 \approx 1{,}73 \qquad > \qquad g(1) = \frac13

La raíz está por encima en todo

[0,3]

A = \int_{0}^{3}\left[\sqrt{3x}-\frac{x^{2}}{3}\right]dx = \int_{0}^{3}\left[\sqrt3\,x^{1/2}-\frac{x^{2}}{3}\right]dx

= \left[\sqrt3\cdot\frac23 x^{3/2}-\frac{x^{3}}{9}\right]_{0}^{3} = \left[\frac{2\sqrt3}{3}x^{3/2}-\frac{x^{3}}{9}\right]_{0}^{3}

Evaluando en $x = 3$ , con

3^{3/2} = 3\sqrt3

\frac{2\sqrt3}{3}\cdot3\sqrt3-\frac{27}{9} = 2\sqrt3\cdot\sqrt3-3 = 6-3 = 3

A = 3 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas: comprueba las dos en la ecuación original. Aquí ambas valen, pero el paso hay que hacerlo.

Escribe $\sqrt{3x} = \sqrt3\,x^{1/2}$ antes de integrar: la primitiva es $\frac{2\sqrt3}{3}x^{3/2}$ , y con $3^{3/2} = 3\sqrt3$ la evaluación queda entera.

Estas dos curvas son inversas una de la otra respecto de $y = x$ (comprueba: $f(3) = 3$ y $g(3) = 3$ ), así que el recinto es simétrico respecto de esa recta. Buen control del resultado.