Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

I = \int_{0}^{8}\frac{1}{2 + \sqrt{x+1}}\,dx

a) [1,25 puntos] Expresa

I

aplicando el cambio de variable

t = 2 + \sqrt{x+1}

.

b) [1,25 puntos] Calcula el valor de

I

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = 2 + \sqrt{x+1} \;\Longrightarrow\; x = (t-2)^{2} - 1, \quad dx = 2(t-2)\,dt; \qquad x=0\to t=3,\; x=8\to t=5\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad I = \int_{3}^{5}\frac{2\,(t-2)}{t}\,dt = \int_{3}^{5}\left(2 - \frac{4}{t}\right)dt\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad I = \Bigl[2t - 4\ln t\Bigr]_{3}^{5} = 4 - 4\ln\frac{5}{3} \approx 1{,}96\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El cambio propuesto elimina la raíz de golpe. Despejando:

\sqrt{x+1} = t - 2 \;\Longrightarrow\; x + 1 = (t-2)^{2} \;\Longrightarrow\; x = (t-2)^{2} - 1

dx = 2\,(t-2)\,dt

y el denominador pasa a ser simplemente

t

. Al ser una integral definida, hay que transformar también los límites.

Lo que queda es una racional impropia sencillísima, que se resuelve con una división.

Desarrollo

a) El cambio de variable.

t = 2 + \sqrt{x+1} \;\Longrightarrow\; \sqrt{x+1} = t-2 \;\Longrightarrow\; x = (t-2)^{2} - 1

dx = 2\,(t-2)\,dt

Los nuevos límites.

x = 0 \;\Longrightarrow\; t = 2 + \sqrt{1} = 3, \qquad x = 8 \;\Longrightarrow\; t = 2 + \sqrt{9} = 5

La integral transformada.

I = \int_{3}^{5}\frac{2\,(t-2)}{t}\,dt

b) Cálculo. Se separa el cociente:

\frac{2(t-2)}{t} = \frac{2t - 4}{t} = 2 - \frac{4}{t}

I = \int_{3}^{5}\left(2 - \frac{4}{t}\right)dt = \Bigl[2t - 4\ln t\Bigr]_{3}^{5}

En $t=5$ :

\;10 - 4\ln 5

En $t=3$ :

\;6 - 4\ln 3

I = \bigl(10 - 4\ln 5\bigr) - \bigl(6 - 4\ln 3\bigr) = 4 - 4\ln 5 + 4\ln 3 = 4 + 4\ln\frac{3}{5}

I = 4 - 4\ln\frac{5}{3} \approx 4 - 2{,}043 = 1{,}96

(El resultado es positivo, como debe ser: el integrando $\frac{1}{2+\sqrt{x+1}}$ es positivo en todo $[0,8]$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para transformar el $dx$ , despeja $x$ en función de $t$ y deriva: aquí $x = (t-2)^{2}-1$ da $dx = 2(t-2)\,dt$ . Intentar despejar $dt$ de la expresión original es más lioso y propenso a errores de signo.

Al ser definida, cambia los límites ( $3$ y $5$ ) y olvídate de deshacer el cambio. Si los dejas en $0$ y $8$ , el resultado es completamente distinto.

La fracción $\frac{2(t-2)}{t}$ no hay que descomponerla en fracciones simples: basta separarla en $2 - \frac{4}{t}$ . Es el mismo truco de dividir cuando el numerador tiene grado mayor o igual que el denominador.