Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{0}^{\pi/2} x\,\mathrm{sen}(2x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = x, \quad dv = \mathrm{sen}(2x)\,dx \;\Longrightarrow\; v = -\frac{\cos(2x)}{2}\;}

\boxed{\;\int x\,\mathrm{sen}(2x)dx = -\frac{x\cos(2x)}{2}+\frac12\int\cos(2x)dx = -\frac{x\cos(2x)}{2}+\frac{\mathrm{sen}(2x)}{4}\;}

\boxed{\;F\!\left(\tfrac\pi2\right) = \frac{\pi}{4}, \qquad F(0) = 0\;}

\boxed{\;\int_{0}^{\pi/2}x\,\mathrm{sen}(2x)\,dx = \frac{\pi}{4}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integración por partes: producto de un polinomio por una función trigonométrica.

u = x \qquad dv = \mathrm{sen}(2x)\,dx

El polinomio va en

u

para que se derive y desaparezca. Y hay que tener cuidado con la regla de la cadena al integrar:

\int \mathrm{sen}(2x)\,dx = -\frac{\cos(2x)}{2}

Al evaluar entre

0

\frac\pi2

conviene recordar

\cos\pi = -1

\;\mathrm{sen}\,\pi = 0

Desarrollo

Integración por partes.

u = x \;\Longrightarrow\; du = dx \qquad dv = \mathrm{sen}(2x)\,dx \;\Longrightarrow\; v = -\frac{\cos(2x)}{2}

\int x\,\mathrm{sen}(2x)\,dx = -\frac{x\cos(2x)}{2}+\frac12\int\cos(2x)\,dx

La integral que queda.

\frac12\int\cos(2x)\,dx = \frac12\cdot\frac{\mathrm{sen}(2x)}{2} = \frac{\mathrm{sen}(2x)}{4}

La primitiva.

F(x) = -\frac{x\cos(2x)}{2}+\frac{\mathrm{sen}(2x)}{4}

Comprobación (derivando).

F'(x) = -\frac{\cos(2x)}{2}+x\,\mathrm{sen}(2x)+\frac{2\cos(2x)}{4} = x\,\mathrm{sen}(2x) \;\checkmark

Regla de Barrow. En

x = \dfrac\pi2

, con

\cos\pi = -1

\mathrm{sen}\,\pi = 0

F\!\left(\frac\pi2\right) = -\frac{\frac\pi2\cdot(-1)}{2}+0 = \frac{\pi}{4}

x = 0

, con

\cos 0 = 1

\mathrm{sen}\,0 = 0

F(0) = 0+0 = 0

\int_{0}^{\pi/2}x\,\mathrm{sen}(2x)\,dx = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El polinomio va en $u$ : al derivarlo desaparece y la integral se cierra en un solo paso. Si lo pones en $dv$ el grado sube y el problema se complica.

La regla de la cadena también al integrar: $\int\mathrm{sen}(2x)dx = -\frac{\cos(2x)}{2}$ y $\int\cos(2x)dx = \frac{\mathrm{sen}(2x)}{2}$ . Perder esos factores $\frac12$ duplica el resultado.

Al evaluar, el argumento es $2x$ : en $x = \frac\pi2$ vale $\cos\pi = -1$ , no $\cos\frac\pi2$ . Es el despiste que más resta en este tipo de integrales.