Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

f

la función definida por

f(x) = \frac{x^{4}}{x^{2}-1} \qquad \text{para } x \neq 1,\, -1

a) [2 puntos] Halla todas las funciones primitivas de

f

.

b) [0,5 puntos] Calcula la primitiva que pasa por

(2,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{x^{4}}{x^{2}-1} = x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2}-1} = x^{2}+1+\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad F(x) = \frac{x^{3}}{3} + x + \frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad F(2) = 0 \Rightarrow C = -\frac{14}{3} + \frac{\ln 3}{2} \approx -4{,}12\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función racional con el numerador de mayor grado que el denominador. La regla es siempre la misma: primero dividir, y solo después descomponer el resto en fracciones simples.

\frac{x^{4}}{x^{2}-1} = x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2}-1}

El resto tiene el denominador

x^{2}-1 = (x-1)(x+1)

, con dos raíces reales simples: fracciones simples de manual.

En b) solo hay que ajustar la constante para que la gráfica pase por

(2,0)

Desarrollo

a) División. Dividiendo

x^{4}

entre

x^{2}-1

x^{4} = \bigl(x^{2}-1\bigr)\bigl(x^{2}+1\bigr) + 1

f(x) = x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2}-1}

(Comprobación: $(x^{2}-1)(x^{2}+1) = x^{4}-1$ , y falta $+1$ para llegar a $x^{4}$ .)

Fracciones simples del resto.

\frac{1}{x^{2}-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}

1 = A\,(x+1) + B\,(x-1)

x = 1: \; 1 = 2A \Rightarrow A = \frac12 \qquad\qquad x = -1: \; 1 = -2B \Rightarrow B = -\frac12

Integración.

\int f(x)\,dx = \int\left(x^{2} + 1 + \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}\right)dx

= \frac{x^{3}}{3} + x + \frac12\ln|x-1| - \frac12\ln|x+1| + C

Agrupando los logaritmos:

F(x) = \frac{x^{3}}{3} + x + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C, \qquad C\in\mathbb{R}

Comprobación (derivando):

F'(x) = x^{2} + 1 + \frac12\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) = x^{2} + 1 + \frac12\cdot\frac{2}{x^{2}-1} = x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2}-1} \quad \checkmark

b) La primitiva que pasa por $(2,0)$ . Imponemos

F(2) = 0

F(2) = \frac{8}{3} + 2 + \frac12\ln\left|\frac{1}{3}\right| + C = \frac{14}{3} - \frac{\ln 3}{2} + C

\frac{14}{3} - \frac{\ln 3}{2} + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = -\frac{14}{3} + \frac{\ln 3}{2} \approx -4{,}12

F(x) = \frac{x^{3}}{3} + x + \frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| - \frac{14}{3} + \frac{\ln 3}{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Divide siempre primero cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador. Intentar descomponer $\frac{x^{4}}{x^{2}-1}$ directamente en fracciones simples no funciona: el método exige que la fracción sea propia.

Comprueba la división con la identidad $\text{dividendo} = \text{divisor}\times\text{cociente} + \text{resto}$ . Aquí, $x^{4} = (x^{2}-1)(x^{2}+1) + 1$ : se ve de un vistazo usando la diferencia de cuadrados.

En b), el enunciado dice "la primitiva que pasa por $(2,0)$ ", es decir $F(2)=0$ , no $F(0)=2$ . Y no dejes el logaritmo sin valor absoluto: es imprescindible para que la primitiva sirva también en los tramos donde $\frac{x-1}{x+1}$ es negativo.