Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2010 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide

90\ \text{cm}

. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono.

¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo?

(Recuerda que el volumen del cono es $V = \frac13\pi r^{2}h$ .)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r^{2}+h^{2} = 8100 \;\Longrightarrow\; r^{2} = 8100-h^{2}\;}

\boxed{\;V(h) = \frac{\pi}{3}\bigl(8100h-h^{3}\bigr)\;}

\boxed{\;V'(h) = \frac{\pi}{3}\bigl(8100-3h^{2}\bigr) = 0 \Rightarrow h = 30\sqrt3 \quad (V''<0)\;}

\boxed{\;h = 30\sqrt3\approx51{,}96\ \text{cm}, \quad r = 30\sqrt6\approx73{,}48\ \text{cm}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al girar el triángulo alrededor de un cateto, ese cateto es la altura

h

del cono y el otro es el radio

r

de la base.

La ligadura es el teorema de Pitágoras sobre la hipotenusa:

r^{2}+h^{2} = 90^{2} = 8100

Conviene despejar

r^{2}

(no

r

): así el volumen queda como un polinomio en $h$ , sin raíces.

V = \frac13\pi r^{2}h = \frac{\pi}{3}\bigl(8100-h^{2}\bigr)h

Desarrollo

Las variables.

h

= cateto sobre el que se gira (altura del cono),

r

= el otro cateto (radio).

La ligadura.

r^{2}+h^{2} = 8100 \;\Longrightarrow\; r^{2} = 8100-h^{2}, \qquad 0<h<90

El volumen.

V(h) = \frac{\pi}{3}\bigl(8100-h^{2}\bigr)h = \frac{\pi}{3}\bigl(8100h-h^{3}\bigr) = 2700\pi h-\frac{\pi}{3}h^{3}

Derivamos.

V'(h) = \frac{\pi}{3}\bigl(8100-3h^{2}\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; h^{2} = 2700

h = \sqrt{2700} = 30\sqrt3 \approx 51{,}96 \ \text{cm}

Es máximo:

V''(h) = -2\pi h < 0 \quad \text{para } h>0 \;\checkmark

El otro cateto.

r^{2} = 8100-2700 = 5400 \;\Longrightarrow\; r = \sqrt{5400} = 30\sqrt6 \approx 73{,}48 \ \text{cm}

\textbf{Catetos: } 30\sqrt3\approx51{,}96\ \text{cm (eje de giro)} \quad \text{y} \quad 30\sqrt6\approx73{,}48\ \text{cm}

El volumen máximo.

V = \frac{\pi}{3}\cdot5400\cdot30\sqrt3 = 54000\sqrt3\,\pi \approx 293\,835 \ \text{cm}^{3}

Comprobación de Pitágoras:

\;2700+5400 = 8100 = 90^{2}

\;\checkmark

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Consejo

Despeja $r^{2}$ , no $r$ : la fórmula del cono lleva $r^{2}$ , así que evitas por completo las raíces y derivas un simple polinomio.

Identifica bien los papeles: el cateto sobre el que se gira es la altura, y el otro es el radio. Intercambiarlos da un volumen distinto (y una respuesta equivocada).

Al despejar el radio, $\sqrt{5400} = \sqrt{900\cdot6} = 30\sqrt6$ . Deja la respuesta en forma exacta y añade el decimal solo al final.