Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2010 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

dada por

f(x) = \begin{cases} e^{x}\bigl(x^{2}+a x\bigr) & \text{si } x\leq0 \\[3mm] \dfrac{b\,x^{2}+c}{x+1} & \text{si } x>0\end{cases}

Calcula las constantes

a

b

c

sabiendo que

f

es derivable y que la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

tiene pendiente $3$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad en } 0: \ 0 = c \;\Longrightarrow\; c = 0\;}

\boxed{\;f'(0^{-}) = a; \quad f'(x) = \frac{b\,x\,(x+2)}{(x+1)^{2}} \Rightarrow f'(0^{+}) = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0\;}

\boxed{\;f'(1) = \frac{3b}{4} = 3 \;\Longrightarrow\; b = 4\;}

\boxed{\;a = 0, \quad b = 4, \quad c = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres condiciones para tres incógnitas:

Continuidad en $x=0$ (el único punto conflictivo).
Igualdad de derivadas laterales en $x=0$ .
$f'(1) = 3$ (la pendiente de la tangente).

Conviene empezar por la continuidad: da

c

de inmediato, y con

c=0

el segundo tramo se simplifica mucho.

Desarrollo

1) Continuidad en $x=0$ .

f(0) = e^{0}\bigl(0+0\bigr) = 0 \qquad \lim_{x\to0^{+}}\frac{b x^{2}+c}{x+1} = \frac{c}{1} = c

c = 0

El segundo tramo queda

\;f(x) = \dfrac{b x^{2}}{x+1}

.

2) Las derivadas laterales.

Por la izquierda (regla del producto):

f'(x) = e^{x}\bigl(x^{2}+a x\bigr)+e^{x}\,(2x+a) = e^{x}\bigl(x^{2}+ax+2x+a\bigr)

f'(0^{-}) = e^{0}\,(0+0+0+a) = a

Por la derecha (regla del cociente):

f'(x) = \frac{2b x\,(x+1)-b x^{2}}{(x+1)^{2}} = \frac{b x^{2}+2b x}{(x+1)^{2}} = \frac{b\,x\,(x+2)}{(x+1)^{2}}

f'(0^{+}) = \frac{0}{1} = 0

Igualando:

a = 0

3) La pendiente en $x=1$ .

f'(1) = \frac{b\cdot1\cdot3}{2^{2}} = \frac{3b}{4} = 3 \;\Longrightarrow\; b = 4

a = 0, \qquad b = 4, \qquad c = 0

La función queda

f(x) = \begin{cases} e^{x}x^{2} & \text{si } x\leq0 \\[2mm] \dfrac{4x^{2}}{x+1} & \text{si } x>0\end{cases}

Comprobaciones.

f(0^{-}) = 0 = f(0^{+}) \;\checkmark \qquad f'(0^{-}) = 0 = f'(0^{+}) \;\checkmark

f'(1) = \frac{4\cdot1\cdot3}{4} = 3 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Empieza por la continuidad: aquí despeja $c$ sola y deja el segundo tramo mucho más simple para derivarlo. Atacar las tres condiciones a la vez complica innecesariamente el sistema.

Al derivar $e^{x}(x^{2}+ax)$ , regla del producto: la exponencial también se deriva. Un error frecuente es escribir solo $e^{x}(2x+a)$ .

Ojo a en qué punto se evalúa cada condición: las dos primeras en $x=0$ (el empalme) y la tercera en $x=1$ , que está en el segundo tramo.