Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por

f(x) = \sqrt{2x-2}

para

x \geq 1

, la recta

y = x - 5

y el eje de abscisas.

a) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de

f

y las rectas.

b) [0,75 puntos] Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.

c) [1 punto] Calcula el área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad (1,0) \text{ y } (5,0) \text{ con el eje}; \quad \sqrt{2x-2} = x-5 \Rightarrow x = 9 \; (x=3 \text{ es falsa})\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{1}^{5}\sqrt{2x-2}\,dx + \int_{5}^{9}\Bigl[\sqrt{2x-2} - (x-5)\Bigr]dx\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad A = \frac{16\sqrt2}{3} + \left(\frac{40}{3} - \frac{16\sqrt2}{3}\right) = \frac{40}{3} \approx 13{,}33\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres fronteras y tres cortes que localizar:

$f$ con el eje $OX$ : donde $\sqrt{2x-2} = 0$ .
La recta con el eje $OX$ : donde $x-5 = 0$ .
$f$ con la recta: aquí hay que elevar al cuadrado y comprobar la solución, porque el cuadrado puede introducir soluciones falsas.

El recinto tiene dos suelos: el eje

OX

hasta

x=5

y la recta a partir de ahí. Por eso la integral se parte en dos.

Desarrollo

a) Los tres cortes.

$f$ con el eje $OX$ :

\sqrt{2x-2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \;\Longrightarrow\; (1,\, 0)

La recta con el eje $OX$ :

x - 5 = 0 \;\Longrightarrow\; (5,\, 0)

$f$ con la recta:

\sqrt{2x-2} = x - 5

Elevando al cuadrado:

2x - 2 = x^{2} - 10x + 25 \;\Longrightarrow\; x^{2} - 12x + 27 = 0

x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2} = \frac{12 \pm 6}{2} \;\Longrightarrow\; x = 9 \quad \text{o} \quad x = 3

Hay que comprobarlas, porque al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas:

$x = 9$ : $\;\sqrt{16} = 4\;$ y $\;9 - 5 = 4\;\checkmark$
$x = 3$ : $\;\sqrt{4} = 2\;$ pero $\;3 - 5 = -2 \neq 2\;$ falsa (la raíz es positiva y la recta ahí es negativa).

\text{Corte válido: } (9,\, 4)

El esbozo.

f

es media parábola tumbada que arranca en

(1,0)

y crece; la recta

y = x-5

corta al eje en

(5,0)

y sube hasta encontrarse con

f

(9,4)

. El recinto está limitado arriba por

f

y abajo por el eje

OX

hasta

x=5

y por la recta de

x=5

x=9

.

b) El área como suma de integrales.

A = \int_{1}^{5}\sqrt{2x-2}\;dx \;+\; \int_{5}^{9}\Bigl[\sqrt{2x-2} - (x-5)\Bigr]dx

c) Cálculo. La primitiva de la raíz:

\int\sqrt{2x-2}\,dx = \int (2x-2)^{1/2}dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{(2x-2)^{3/2}}{3/2} = \frac{(2x-2)^{3/2}}{3}

(El $\tfrac12$ compensa la derivada del interior, que vale $2$ .)

Primer tramo:

\left[\frac{(2x-2)^{3/2}}{3}\right]_{1}^{5} = \frac{8^{3/2}}{3} - 0 = \frac{16\sqrt2}{3}

Segundo tramo:

\left[\frac{(2x-2)^{3/2}}{3} - \frac{(x-5)^{2}}{2}\right]_{5}^{9} = \left(\frac{16^{3/2}}{3} - \frac{16}{2}\right) - \left(\frac{8^{3/2}}{3} - 0\right)

= \left(\frac{64}{3} - 8\right) - \frac{16\sqrt2}{3} = \frac{40}{3} - \frac{16\sqrt2}{3}

Total.

A = \frac{16\sqrt2}{3} + \frac{40}{3} - \frac{16\sqrt2}{3} = \frac{40}{3} \approx 13{,}33 \ \text{unidades cuadradas}

(Los términos con $\sqrt2$ se cancelan y el resultado queda sorprendentemente limpio.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al resolver $\sqrt{\ldots} = x-5$ elevando al cuadrado, hay que comprobar las soluciones: la operación no es reversible y puede inventar raíces. Aquí $x=3$ es falsa porque la recta es negativa ahí y una raíz cuadrada nunca lo es. Descartarla explícitamente forma parte de la respuesta.

El recinto cambia de suelo en $x=5$ : hasta ahí lo cierra el eje $OX$ y a partir de ahí la recta. Una sola integral con la recta desde $x=1$ contaría área que no existe.

Al integrar $\sqrt{2x-2}$ no olvides el $\tfrac12$ que compensa la derivada del interior: $\int(2x-2)^{1/2}dx = \frac{(2x-2)^{3/2}}{3}$ . Es lo que hace que los términos con $\sqrt2$ se cancelen y el área quede sin raíces, $\frac{40}{3}$ .