Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sean

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas mediante

f(x) = x^{3}-4x \qquad \text{y} \qquad g(x) = 3x-6

a) [0,75 puntos] Determina los puntos de corte de las gráficas de

f

g

.

b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{3}-7x+6 = (x-1)(x+3)(x-2): \ x = -3, \ 1, \ 2\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (-3,-15), \ (1,-3), \ (2,0)\;}

\boxed{\;A_{1} = \int_{-3}^{1}\bigl(x^{3}-7x+6\bigr)dx = \frac{11}{4}+\frac{117}{4} = 32\;}

\boxed{\;A_{2} = \int_{1}^{2}\bigl(-x^{3}+7x-6\bigr)dx = \frac34; \qquad A = \frac{131}{4} = 32{,}75\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al igualar sale una cúbica con tres raíces, así que hay dos recintos y la integral se parte en dos tramos. Y en cada uno cambia quién va arriba.

x^{3}-4x = 3x-6 \;\Longrightarrow\; x^{3}-7x+6 = 0

Se busca una raíz entera entre los divisores de

6

y se factoriza.

Desarrollo

a) Los puntos de corte.

x^{3}-4x = 3x-6 \;\Longrightarrow\; x^{3}-7x+6 = 0

Probando $x = 1$ :

\;1-7+6 = 0

\;\checkmark

. Dividiendo:

x^{3}-7x+6 = (x-1)\bigl(x^{2}+x-6\bigr) = (x-1)(x+3)(x-2)

x = -3, \qquad x = 1, \qquad x = 2

g(-3) = -15 \qquad g(1) = -3 \qquad g(2) = 0

\text{Cortes: } (-3,\,-15), \quad (1,\,-3), \quad (2,\,0)

b) El área. Hay dos recintos:

[-3,1]

[1,2]

.

¿Quién va arriba en cada uno?

En

x = 0

(dentro de

[-3,1]

\;f(0) = 0 > g(0) = -6

: va arriba $f$ .

En

x = 1{,}5

(dentro de

[1,2]

\;f(1{,}5) = -2{,}625

g(1{,}5) = -1{,}5

: va arriba $g$ .

Primer recinto.

A_{1} = \int_{-3}^{1}\bigl[f-g\bigr]dx = \int_{-3}^{1}\bigl(x^{3}-7x+6\bigr)dx = \left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{7x^{2}}{2}+6x\right]_{-3}^{1}

En $x = 1$ :

\;\dfrac14-\dfrac72+6 = \dfrac{1-14+24}{4} = \dfrac{11}{4}

En $x = -3$ :

\;\dfrac{81}{4}-\dfrac{63}{2}-18 = \dfrac{81-126-72}{4} = -\dfrac{117}{4}

A_{1} = \frac{11}{4}+\frac{117}{4} = \frac{128}{4} = 32

Segundo recinto.

A_{2} = \int_{1}^{2}\bigl[g-f\bigr]dx = \int_{1}^{2}\bigl(-x^{3}+7x-6\bigr)dx = \left[-\frac{x^{4}}{4}+\frac{7x^{2}}{2}-6x\right]_{1}^{2}

En $x = 2$ :

\;-4+14-12 = -2

En $x = 1$ :

\;-\dfrac14+\dfrac72-6 = \dfrac{-1+14-24}{4} = -\dfrac{11}{4}

A_{2} = -2+\frac{11}{4} = \frac34

El área total.

A = 32+\frac34 = \frac{131}{4} = 32{,}75 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con tres puntos de corte hay dos recintos, y en cada uno cambia quién está arriba. Hay que calcular dos integrales y sumar los valores absolutos.

Para factorizar $x^{3}-7x+6$ , prueba con los divisores del término independiente ( $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ ). Con $x=1$ se acierta a la primera.

Integrar de $-3$ a $2$ de una vez daría $32-\frac34 = 31{,}25$ : las dos partes se restarían en vez de sumarse. Es el error clásico de este tipo de ejercicio.