Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función dada por

\;f(x) = e^{-2x}

.

a) [1 punto] Justifica que la recta de ecuación

\;y = -2e\,x\;

es la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

\;x = -\dfrac12

.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de

f

, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f\!\left(-\tfrac12\right) = e, \quad f'(x) = -2e^{-2x} \Rightarrow f'\!\left(-\tfrac12\right) = -2e\;}

\boxed{\;y-e = -2e\left(x+\tfrac12\right) \;\Longrightarrow\; y = -2e\,x \;\checkmark\;}

\boxed{\;A = \int_{-1/2}^{0}\bigl[e^{-2x}+2e\,x\bigr]dx = \left[-\tfrac{e^{-2x}}{2}+e\,x^{2}\right]_{-1/2}^{0}\;}

\boxed{\;A = -\frac12+\frac e4 = \frac e4-\frac12 \approx 0{,}18 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Dos comprobaciones: que la recta pasa por $\bigl(-\frac12,\; f(-\frac12)\bigr) = \bigl(-\frac12,\,e\bigr)$ y que su pendiente es $f'\bigl(-\frac12\bigr) = -2e$ .
b) La exponencial es convexa, así que queda por encima de todas sus tangentes. El recinto va desde el punto de tangencia ( $x = -\frac12$ ) hasta el eje $OY$ ( $x = 0$ ):

A = \int_{-1/2}^{0}\Bigl[e^{-2x}-(-2e\,x)\Bigr]dx

Desarrollo

a) La recta tangente en $x = -\frac12$ .

f\!\left(-\frac12\right) = e^{-2\,(-1/2)} = e^{1} = e \;\Longrightarrow\; \text{el punto es } \left(-\frac12,\; e\right)

f'(x) = -2\,e^{-2x} \;\Longrightarrow\; f'\!\left(-\frac12\right) = -2e

y-e = -2e\left(x+\frac12\right) = -2e\,x-e \;\Longrightarrow\; y = -2e\,x

Es exactamente la recta del enunciado

\;\checkmark

(y pasa por el origen).

b) El área. La diferencia entre la curva y la tangente:

e^{-2x}-(-2e\,x) = e^{-2x}+2e\,x

x = 0

vale

\;1-0 = 1 > 0

, y en

x = -\frac12

vale

\;e-e = 0

(la tangencia). Como

f

es convexa, la curva está por encima en todo el intervalo.

A = \int_{-1/2}^{0}\Bigl[e^{-2x}+2e\,x\Bigr]dx = \left[-\frac{e^{-2x}}{2}+e\,x^{2}\right]_{-1/2}^{0}

En $x = 0$ :

\;-\dfrac{e^{0}}{2}+0 = -\dfrac12

En $x = -\frac12$ :

\;-\dfrac{e^{1}}{2}+e\cdot\dfrac14 = -\dfrac e2+\dfrac e4 = -\dfrac e4

Restando:

A = -\frac12-\left(-\frac e4\right) = \frac e4-\frac12 \approx 0{,}680-0{,}5 = 0{,}180 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al derivar $e^{-2x}$ , la regla de la cadena aporta el factor $-2$ : $\;f' = -2e^{-2x}$ . Y al integrarla, el factor es $-\frac12$ . Son los dos sitios donde más se falla.

La exponencial es convexa, así que su gráfica queda por encima de cualquier tangente. Ese argumento decide el orden en la integral sin necesidad de dibujar.

El recinto se cierra con el eje $OY$ : el límite superior de la integral es $x = 0$ . Sin ese dato la región no estaría acotada.