Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Considera las funciones

f\colon\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}

g\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R}

definidas por

f(x) = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{3}x} \qquad \text{y} \qquad g(x) = x^{3}\ln x

a) [1,25 puntos] Halla la primitiva de $f$ que toma el valor

1

cuando

x = \dfrac{\pi}{3}

(se puede hacer el cambio de variable

t = \cos x

).

b) [1,25 puntos] Calcula

\;\displaystyle\int g(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \cos x, \ \operatorname{sen} x\,dx = -dt \;\Longrightarrow\; \int\frac{-dt}{t^{3}} = \frac{1}{2t^{2}}\;}

\boxed{\;F(x) = \frac{1}{2\cos^{2}x}+C; \quad F\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) = 2+C = 1 \Rightarrow C = -1\;}

\boxed{\;F(x) = \frac{1}{2\cos^{2}x}-1\;}

\boxed{\;\int x^{3}\ln x\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x-\frac{x^{4}}{16}+C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Con $t = \cos x$ se tiene $dt = -\operatorname{sen} x\,dx$ , y ese $\operatorname{sen} x$ es justo el numerador:

\int\frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{3}x}\,dx = -\int\frac{dt}{t^{3}}

Queda una potencia inmediata. Después se fija la constante con la condición dada.

b) Producto de polinomio por logaritmo $\Rightarrow$ integración por partes, con el logaritmo en $u$ .

Desarrollo

a) El cambio de variable.

t = \cos x \;\Longrightarrow\; dt = -\operatorname{sen} x\,dx \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen} x\,dx = -dt

\int\frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{3}x}\,dx = \int\frac{-dt}{t^{3}} = -\int t^{-3}\,dt = -\frac{t^{-2}}{-2} = \frac{1}{2t^{2}}

Deshaciendo el cambio:

F(x) = \frac{1}{2\cos^{2}x}+C

La condición $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1$ . Como

\cos\frac{\pi}{3} = \frac12

F\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2\cdot\frac14}+C = 2+C = 1 \;\Longrightarrow\; C = -1

F(x) = \frac{1}{2\cos^{2}x}-1

Comprobación (derivando).

F'(x) = \frac12\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{-2}x\bigr) = \frac12\cdot(-2)\cos^{-3}x\cdot(-\operatorname{sen} x) = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{3}x} \;\checkmark

b) La integral por partes. Con

u = \ln x

\;dv = x^{3}dx

du = \frac{dx}{x} \qquad v = \frac{x^{4}}{4}

\int x^{3}\ln x\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x-\int\frac{x^{4}}{4}\cdot\frac1x\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x-\frac14\int x^{3}\,dx

= \frac{x^{4}}{4}\ln x-\frac{x^{4}}{16}+C

Comprobación (derivando).

x^{3}\ln x+\frac{x^{4}}{4}\cdot\frac1x-\frac{4x^{3}}{16} = x^{3}\ln x+\frac{x^{3}}{4}-\frac{x^{3}}{4} = x^{3}\ln x \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), el cambio funciona porque $\operatorname{sen} x\,dx$ es (salvo signo) el diferencial de $\cos x$ . Busca siempre esa coincidencia antes de intentar otra técnica.

No olvides el signo de $dt = -\operatorname{sen} x\,dx$ : se compensa con el de $\int t^{-3}dt = -\frac{1}{2t^{2}}$ y el resultado queda positivo.

"Halla la primitiva que toma el valor..." obliga a fijar la constante. Y en b), como no hay condición, la respuesta lleva $+C$ .