Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = -4x^{2} + a

, siendo

a > 0

un número real. Esboza el recinto limitado por la gráfica de

f

y la recta

y = 0

. Calcula

a

sabiendo que el área del recinto es

18

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Cortes en } x = \pm\frac{\sqrt a}{2}; \quad \text{la parábola queda por encima del eje entre ellos}\;}

\boxed{\;A = 2\int_{0}^{\sqrt a/2}\bigl(-4x^{2}+a\bigr)dx = \frac{2\,a^{3/2}}{3}\;}

\boxed{\;\frac{2a^{3/2}}{3} = 18 \;\Longrightarrow\; a^{3/2} = 27 \;\Longrightarrow\; a = 9\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema inverso de áreas. La parábola

y = -4x^{2} + a

tiene las ramas hacia abajo y vértice en

(0,a)

, con

a > 0

: corta al eje

OX

en dos puntos simétricos, y entre ellos queda por encima del eje. El recinto es esa "campana".

Dos simplificaciones que conviene aprovechar:

Los cortes son $x = \pm\frac{\sqrt a}{2}$ , simétricos, así que basta integrar de $0$ a $\frac{\sqrt a}{2}$ y duplicar.
El área saldrá proporcional a $a^{3/2}$ , así que la ecuación final se resuelve elevando al cuadrado (o tomando raíz cúbica del cuadrado).

Desarrollo

Cortes con el eje $OX$ .

-4x^{2} + a = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = \frac{a}{4} \;\Longrightarrow\; x = \pm\frac{\sqrt{a}}{2}

Como

a > 0

, las dos raíces son reales y distintas.

El recinto. La parábola tiene las ramas hacia abajo (coeficiente

-4 < 0

) y su vértice está en

(0, a)

, por encima del eje. Entre los dos cortes,

f(x) > 0

: el recinto es la región comprendida entre la parábola (arriba) y el eje

OX

(abajo).

Área (aprovechando la simetría, pues

f

es par):

A = \int_{-\sqrt a/2}^{\sqrt a/2}\bigl(-4x^{2} + a\bigr)dx = 2\int_{0}^{\sqrt a/2}\bigl(-4x^{2} + a\bigr)dx

= 2\left[-\frac{4x^{3}}{3} + a\,x\right]_{0}^{\sqrt a/2} = 2\left(-\frac{4}{3}\cdot\frac{a\sqrt a}{8} + a\cdot\frac{\sqrt a}{2}\right)

= 2\left(-\frac{a\sqrt a}{6} + \frac{a\sqrt a}{2}\right) = 2\cdot\frac{-a\sqrt a + 3a\sqrt a}{6} = 2\cdot\frac{2a\sqrt a}{6} = \frac{2\,a\sqrt{a}}{3}

Es decir,

A = \frac{2\,a^{3/2}}{3}

Ecuación del área.

\frac{2\,a^{3/2}}{3} = 18 \;\Longrightarrow\; a^{3/2} = 27 \;\Longrightarrow\; a = 27^{2/3} = \bigl(3^{3}\bigr)^{2/3} = 3^{2} = 9

a = 9

Comprobación. Con

a = 9

: la parábola es

y = -4x^{2} + 9

, con cortes en

x = \pm\tfrac32

A = 2\int_{0}^{3/2}\bigl(-4x^{2} + 9\bigr)dx = 2\left[-\frac{4x^{3}}{3} + 9x\right]_{0}^{3/2} = 2\left(-\frac{4}{3}\cdot\frac{27}{8} + \frac{27}{2}\right)

= 2\left(-\frac{9}{2} + \frac{27}{2}\right) = 2\cdot 9 = 18 \quad \checkmark

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Consejo

Los límites de integración dependen del parámetro: son $\pm\frac{\sqrt a}{2}$ , no unos números concretos. Integrar con el parámetro dentro es exactamente lo que evalúa el ejercicio.

Usa la paridad de $f$ : integrar de $0$ a $\frac{\sqrt a}{2}$ y multiplicar por dos evita arrastrar los signos de la mitad negativa. Menos cuentas, menos errores.

Al despejar, $a^{3/2} = 27$ significa $\sqrt{a^{3}} = 27$ , luego $a^{3} = 729$ y $a = 9$ . Otra vía: $a = 27^{2/3}$ . Lo que no vale es escribir $a = \frac{27\cdot 3}{2}$ ni despejar como si el exponente fuera $1$ : es el desliz más común con exponentes fraccionarios.