Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2021 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera las funciones

f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = |x| - 2

y por

g(x) = 4 - x^{2}

.

a) [1 punto] Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.

b) [1,5 puntos] Determina el área del recinto anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad (-2,\, 0) \quad \text{y} \quad (2,\, 0)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = 2\int_{0}^{2}\bigl(6 - x^{2} - x\bigr)dx = \frac{44}{3} \approx 14{,}67 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto obliga a resolver la ecuación de los cortes en dos trozos, comprobando después que cada solución cae en el trozo del que salió.

Para el área, las dos funciones son pares (

|x|

x^{2}

solo dependen del valor absoluto de

x

), así que el recinto es simétrico respecto del eje

OY

: basta integrar de

0

2

y duplicar, lo que además evita tener que arrastrar el valor absoluto.

Desarrollo

a) Puntos de corte. Resolvemos

|x| - 2 = 4 - x^{2}

en cada trozo.

Para $x \geq 0$ , con

|x| = x

x - 2 = 4 - x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2} + x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \;\text{ o }\; x = -3

Solo

x = 2

cumple

x \geq 0

. Válida.

Para $x < 0$ , con

|x| = -x

-x - 2 = 4 - x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2} - x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3 \;\text{ o }\; x = -2

Solo

x = -2

cumple

x < 0

. Válida.

Las ordenadas:

\;g(\pm 2) = 4 - 4 = 0

. Los puntos de corte son

(-2,\, 0) \qquad \text{y} \qquad (2,\, 0)

(Curiosamente, los dos están sobre el eje $OX$ : es donde la parábola corta al eje.)

Esbozo.

f(x) = |x| - 2

es una "uve" con vértice en

(0,-2)

y ramas de pendiente

\pm 1

g(x) = 4 - x^{2}

es una parábola invertida con vértice en

(0,4)

. El recinto que delimitan tiene forma de "hoja" apoyada en los dos cortes, con la parábola por arriba y la uve por abajo.

Qué función va por encima. En

x = 0

g(0) = 4 > -2 = f(0)

luego

g

está por encima de

f

en todo

(-2,2)

.

b) Área.

A = \int_{-2}^{2}\Bigl[\bigl(4 - x^{2}\bigr) - \bigl(|x| - 2\bigr)\Bigr]dx = \int_{-2}^{2}\Bigl(6 - x^{2} - |x|\Bigr)dx

El integrando es par, así que integramos de

0

2

(donde

|x| = x

) y multiplicamos por dos:

A = 2\int_{0}^{2}\bigl(6 - x^{2} - x\bigr)dx = 2\left[6x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}

= 2\left(12 - \frac{8}{3} - 2\right) = 2\left(10 - \frac{8}{3}\right) = 2\cdot\frac{30 - 8}{3} = 2\cdot\frac{22}{3} = \frac{44}{3}

A = \frac{44}{3} \approx 14{,}67 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al abrir el valor absoluto salen dos ecuaciones de segundo grado, y cada una tiene dos raíces: en total cuatro candidatas, de las que solo dos son válidas. Comprueba siempre que la solución pertenece al trozo en el que la has obtenido; aquí $x=-3$ y $x=3$ hay que descartarlas.

Aprovecha la paridad para integrar solo la mitad: en $[0,2]$ el valor absoluto desaparece ( $|x| = x$ ) y la integral es un polinomio corriente. Integrar de $-2$ a $2$ arrastrando el $|x|$ obliga a partir en $x=0$ de todos modos, así que la simetría no es un lujo, es el camino corto.