Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

dada por

\;f(x) = x^{2}+4

.

a) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

.

b) [1,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de

f

, el eje de ordenadas y la recta de ecuación

\;y = 2x+3

. Calcula su área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(1) = 5, \ f'(1) = 2 \;\Longrightarrow\; y = 2x+3\;}

\boxed{\;x^{2}+4 = 2x+3 \Rightarrow (x-1)^{2} = 0: \text{ tangentes en } (1,5)\;}

\boxed{\;\text{Vértices } (0,4), \ (0,3), \ (1,5); \ \text{arriba va la parábola}\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{1}(x-1)^{2}dx = \left[\frac{(x-1)^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac13\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados están conectados: la recta tangente de a) es la recta

y = 2x+3

de b). Por eso solo toca a la parábola en

x=1

(raíz doble) y no la corta.

El recinto es el "triangulito curvilíneo" con vértices

(0,\,3) \quad \text{(recta con } OY), \qquad (0,\,4) \quad \text{(parábola con } OY), \qquad (1,\,5) \quad \text{(tangencia)}

y el área es

\displaystyle\int_{0}^{1}\bigl[f(x)-(2x+3)\bigr]dx

Desarrollo

a) La recta tangente en $x = 1$ .

f(1) = 1+4 = 5 \;\Longrightarrow\; \text{el punto es } (1,\,5)

f'(x) = 2x \;\Longrightarrow\; f'(1) = 2

y-5 = 2\,(x-1) \;\Longrightarrow\; y = 2x+3

Es exactamente la recta del apartado b).

b) El recinto.

Corte de la parábola con la recta:

x^{2}+4 = 2x+3 \;\Longrightarrow\; x^{2}-2x+1 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-1)^{2} = 0

Raíz doble en

x = 1

: son tangentes, no se cruzan.

Cortes con el eje $OY$ (

x = 0

f(0) = 4 \qquad \text{y} \qquad 2\cdot0+3 = 3

\text{Vértices: } (0,\,4), \quad (0,\,3), \quad (1,\,5)

¿Quién va arriba? Como la parábola es convexa (

a = 1>0

), toda tangente queda por debajo de ella. Se comprueba en

x = 0

f(0) = 4 \qquad > \qquad 3

El área.

A = \int_{0}^{1}\Bigl[\bigl(x^{2}+4\bigr)-(2x+3)\Bigr]dx = \int_{0}^{1}\bigl[x^{2}-2x+1\bigr]dx

El integrando es un cuadrado perfecto:

\;(x-1)^{2}

A = \left[\frac{(x-1)^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 0-\frac{(-1)^{3}}{3} = \frac13

A = \frac13 \approx 0{,}33 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que el corte dé una raíz doble significa tangencia. Es la señal de que la recta de b) es la tangente de a), y de que la parábola no cambia de lado en el intervalo.

Una parábola convexa ( $a>0$ ) queda siempre por encima de sus tangentes. Ese argumento te ahorra dibujar para decidir el orden en la integral.

Reconocer $x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}$ hace la integral inmediata, pero integrar término a término da lo mismo. Lo que no puede faltar es el límite $x=0$ : el recinto se cierra con el eje $OY$ .