Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2023 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Sabiendo que

\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x) - \ln(1 + x)}{a x^{2} - x + e^{x} - \cos(2x)} = -\frac{1}{7}

calcula

a

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x - \ln(1+x)}{ax^{2} - x + e^{x} - \cos 2x} = \frac{1}{2a+5} = -\frac{1}{7} \;\Longrightarrow\; a = -6\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al sustituir

x = 0

tanto el numerador como el denominador se anulan (para cualquier

a

), así que es una indeterminación

0/0

. Hay dos caminos:

L'Hôpital, aplicado dos veces. Es el camino directo, pero hay que derivar con cuidado.
Infinitésimos equivalentes / Taylor, que explica de un vistazo por qué el resultado depende de $a$ : ambos, numerador y denominador, son infinitésimos de orden dos, y el límite es el cociente de los coeficientes de $x^{2}$ .

Desarrollo el primero por ser el estándar y comparo con el segundo.

Desarrollo

Verificación de la indeterminación. En

x = 0

\operatorname{sen} 0 - \ln 1 = 0, \qquad a\cdot 0 - 0 + e^{0} - \cos 0 = 0 + 1 - 1 = 0

Indeterminación

\dfrac{0}{0}

sea cual sea

a

.

Primer L'Hôpital.

\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \dfrac{1}{1+x}}{2ax - 1 + e^{x} + 2\operatorname{sen}(2x)}

x = 0

: numerador

1 - 1 = 0

; denominador

0 - 1 + 1 + 0 = 0

. Sigue siendo $0/0$ .

Segundo L'Hôpital.

\lim_{x\to 0} \frac{-\operatorname{sen} x + \dfrac{1}{(1+x)^{2}}}{2a + e^{x} + 4\cos(2x)} = \frac{0 + 1}{2a + 1 + 4} = \frac{1}{2a + 5}

Ecuación en $a$ .

\frac{1}{2a + 5} = -\frac{1}{7} \;\Longrightarrow\; 2a + 5 = -7 \;\Longrightarrow\; 2a = -12 \;\Longrightarrow\; a = -6

Comprobación con desarrollos de Taylor. Cerca de

0

\operatorname{sen} x = x - \frac{x^{3}}{6} + \cdots, \qquad \ln(1+x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots

\operatorname{sen} x - \ln(1+x) = \frac{x^{2}}{2} + O\!\left(x^{3}\right)

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \cdots, \qquad \cos(2x) = 1 - 2x^{2} + \cdots

a x^{2} - x + e^{x} - \cos(2x) = a x^{2} - x + \left(1 + x + \frac{x^{2}}{2}\right) - \left(1 - 2x^{2}\right) + \cdots = \left(a + \frac{5}{2}\right)x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

El límite es el cociente de los coeficientes de

x^{2}

L = \frac{1/2}{a + 5/2} = \frac{1}{2a + 5}

que es el mismo resultado. Con

a = -6

L = \frac{1}{-12 + 5} = -\frac{1}{7} \quad \checkmark

(Un tanteo numérico con $a = -6$ y $x = 10^{-4}$ da $-0{,}14284$ , frente a $-1/7 = -0{,}14285\ldots$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de derivar, comprueba que hay indeterminación y dilo por escrito: es un punto de los criterios de corrección. Y después del primer L'Hôpital, vuelve a comprobarlo, porque aquí hace falta aplicarlo una segunda vez.

El error más frecuente está en derivar $\cos(2x)$ : la regla de la cadena mete un $2$ , así que la derivada es $-2\operatorname{sen}(2x)$ y, al llevar el signo menos del enunciado, aparece $+2\operatorname{sen}(2x)$ . En la segunda derivada el factor pasa a ser $4$ . Si te comes ese $4$ , el denominador te queda $2a+3$ en lugar de $2a+5$ y el valor de $a$ sale mal aunque todo lo demás esté impecable.