Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2015 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El terreno debe tener

180\,000

^{2}

para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita vallado?

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Resultado

\boxed{\;x\,y = 180\,000 \;\Longrightarrow\; y = \frac{180\,000}{x}; \qquad V = x+2y \ \ (\text{tres lados})\;}

\boxed{\;V(x) = x+\frac{360\,000}{x}; \qquad V'(x) = 1-\frac{360\,000}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 600\;}

\boxed{\;600 \times 300 \ \text{m}, \qquad V_{\min} = 1200 \ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Optimización con restricción de área. Lo único delicado es contar los lados que se vallan: al apoyarse en el río, uno de los cuatro lados no lleva valla.

Si

x

es la longitud de los lados paralelos al río (el que da al río, sin valla, y el opuesto, vallado) e

y

la de los dos lados perpendiculares:

V = x + 2y \qquad \text{(no } 2x+2y\text{)}

Con

x\,y = 180\,000

se despeja

y

, se sustituye y se minimiza.

Desarrollo

Variables y restricción. Sea

x

el lado paralelo al río e

y

cada uno de los dos lados perpendiculares (en metros):

x\,y = 180\,000 \;\Longrightarrow\; y = \frac{180\,000}{x}

La valla. Se vallan el lado opuesto al río (

x

) y los dos laterales (

y

cada uno):

V = x+2y

En una sola variable.

V(x) = x+2\cdot\frac{180\,000}{x} = x+\frac{360\,000}{x}, \qquad x>0

Derivada y punto crítico.

V'(x) = 1-\frac{360\,000}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 360\,000 \;\Longrightarrow\; x = 600 \ \text{m}

(La raíz negativa se descarta: es una longitud.)

Es mínimo.

V''(x) = \frac{720\,000}{x^{3}} > 0 \quad \text{para } x>0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

Las dimensiones.

y = \frac{180\,000}{600} = 300 \ \text{m}

\textbf{Terreno de } 600 \ \text{m (paralelo al río)} \times 300 \ \text{m}

La valla mínima.

V = 600+2\cdot 300 = 1200 \ \text{m}

(Comprobación del área: $600\times300 = 180\,000$ m $^{2}$ $\checkmark$ . Y obsérvese que en el óptimo el lado vallado paralelo al río mide exactamente lo mismo que los dos laterales juntos: $600 = 300+300$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"El lado que da al río no necesita vallado" $\Rightarrow$ tres lados, no cuatro. Escribir $V = 2x+2y$ es el error que arruina el problema; el enunciado te lo está avisando explícitamente.

Da igual qué lado llames $x$ , pero sé coherente: si $x$ es el paralelo al río, entonces se valla una vez $x$ y dos veces $y$ . Un dibujo rápido en el margen evita confundirse.

Justifica que es mínimo con $V''>0$ . Y comprueba al final que $x\cdot y$ da el área pedida: es la forma más rápida de detectar un despeje mal hecho.