Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Considera la función f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x) = x^{3}+a x^{2}+b x+c. Determina a, b y c sabiendo que la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es y+x = -3 y que el punto de inflexión tiene abscisa x = 1.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2013 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Considera la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

dada por

f(x) = x^{3}+a x^{2}+b x+c

. Determina

a

b

c

sabiendo que la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

y+x = -3

y que el punto de inflexión tiene abscisa

x = 1

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Resultado

\boxed{\;\text{Normal } y = -3-x: \ \text{pasa por } (0,-3) \Rightarrow f(0) = c = -3\;}

\boxed{\;\text{pendiente } -\frac{1}{f'(0)} = -1 \;\Longrightarrow\; f'(0) = b = 1\;}

\boxed{\;f''(1) = 6+2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3\;}

\boxed{\;f(x) = x^{3}-3x^{2}+x-3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La condición de la normal esconde dos datos, y hay que traducirlos con cuidado:

y+x = -3 \;\Longleftrightarrow\; y = -3-x \qquad (\text{pendiente } -1)

La normal pasa por el punto de tangencia, y en $x=0$ vale $-3$ : $\;f(0) = -3$ .
Su pendiente es $-\dfrac{1}{f'(0)} = -1$ , luego $\;f'(0) = 1$ .

Y la inflexión da la tercera:

\;f''(1) = 0

.

Cada ecuación aísla una incógnita, así que no hace falta resolver ningún sistema.

Desarrollo

Las derivadas.

f'(x) = 3x^{2}+2a x+b \qquad f''(x) = 6x+2a

1) La normal pasa por $(0,f(0))$ . En

x=0

la recta

y = -3-x

vale

-3

f(0) = c = -3

2) La pendiente de la normal es $-1$ .

-\frac{1}{f'(0)} = -1 \;\Longrightarrow\; f'(0) = 1 \;\Longrightarrow\; b = 1

(La tangente tiene pendiente $1$ ; la normal, $-1$ .)

3) Inflexión en $x=1$ .

f''(1) = 6+2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3

a = -3, \qquad b = 1, \qquad c = -3 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = x^{3}-3x^{2}+x-3

Comprobaciones.

f(0) = -3 \;\checkmark \qquad f'(x) = 3x^{2}-6x+1 \;\Longrightarrow\; f'(0) = 1 \;\checkmark

f''(x) = 6x-6 \;\Longrightarrow\; f''(1) = 0 \;\checkmark

(Y $f''$ cambia de signo en $x=1$ , así que ahí hay de verdad un punto de inflexión, en $(1,-4)$ .)

La normal en $x=0$ , con pendiente

-1

por

(0,-3)

y+3 = -1\,(x-0) \;\Longrightarrow\; y = -x-3 \;\Longleftrightarrow\; y+x = -3 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La recta dada es la normal, no la tangente: su pendiente es $-\frac{1}{f'(0)}$ . De $-1$ se deduce $f'(0) = 1$ , no $f'(0) = -1$ . Es el error decisivo del ejercicio.

La normal también pasa por el punto de tangencia, así que $f(0)$ es el valor de la recta en $x=0$ , es decir, $-3$ . Ese es el segundo dato escondido.

Ordena: $f(0)$ da $c$ , $f'(0)$ da $b$ y $f''(1)$ da $a$ . Cada condición aísla una incógnita y te ahorras montar un sistema.