Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 6. Calcula

\int \ln\bigl(x^{2} + 2x + 2\bigr)\,dx

donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano.

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = x + 1$ .)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2}+1; \qquad \int\ln\bigl(t^{2}+1\bigr)dt = t\ln\bigl(t^{2}+1\bigr) - 2t + 2\operatorname{arc\,tg} t\;}

\boxed{\;\int \ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)dx = (x+1)\ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr) - 2(x+1) + 2\operatorname{arc\,tg}(x+1) + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El cambio sugerido tiene un objetivo claro: completar cuadrados. Como

x^{2} + 2x + 2 = (x+1)^{2} + 1

con

t = x+1

el argumento del logaritmo se convierte en

t^{2}+1

, mucho más manejable.

Después hay que integrar

\ln(t^{2}+1)

por partes, tomando

u

igual al logaritmo. Aparecerá una integral racional con numerador y denominador del mismo grado, que se resuelve sumando y restando

1

Desarrollo

Cambio de variable.

t = x + 1 \;\Longrightarrow\; dt = dx, \qquad x^{2} + 2x + 2 = (x+1)^{2} + 1 = t^{2} + 1

\int \ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)dx = \int \ln\bigl(t^{2}+1\bigr)dt

Integración por partes. Con

u = \ln(t^{2}+1)

dv = dt

du = \frac{2t}{t^{2}+1}\,dt, \qquad v = t

\int \ln\bigl(t^{2}+1\bigr)dt = t\ln\bigl(t^{2}+1\bigr) - \int \frac{2t^{2}}{t^{2}+1}\,dt

La integral racional. Sumando y restando

1

en el numerador:

\frac{2t^{2}}{t^{2}+1} = 2\cdot\frac{t^{2}+1-1}{t^{2}+1} = 2 - \frac{2}{t^{2}+1}

\int \frac{2t^{2}}{t^{2}+1}\,dt = 2t - 2\operatorname{arc\,tg}(t)

Primitiva en $t$ .

\int \ln\bigl(t^{2}+1\bigr)dt = t\ln\bigl(t^{2}+1\bigr) - 2t + 2\operatorname{arc\,tg}(t) + C

Deshaciendo el cambio (

t = x+1

\int \ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)dx = (x+1)\ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr) - 2\,(x+1) + 2\operatorname{arc\,tg}(x+1) + C

(El término $-2(x+1) = -2x - 2$ puede dejarse como $-2x$ , absorbiendo el $-2$ en la constante.)

Comprobación. Derivando, con

u = x+1

\frac{d}{dx}\Bigl[u\ln(u^{2}+1)\Bigr] = \ln\bigl(u^{2}+1\bigr) + \frac{2u^{2}}{u^{2}+1}

\frac{d}{dx}\bigl[-2u\bigr] = -2, \qquad \frac{d}{dx}\bigl[2\operatorname{arc\,tg} u\bigr] = \frac{2}{u^{2}+1}

Sumando:

\;\ln(u^{2}+1) + \dfrac{2u^{2}+2}{u^{2}+1} - 2 = \ln(u^{2}+1) + 2 - 2 = \ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr)\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El cambio $t = x+1$ no es un capricho: sirve para completar cuadrados y convertir el trinomio en $t^{2}+1$ . Sin él, la integración por partes deja una racional con $x^{2}+2x+2$ en el denominador que también se resuelve, pero exigiendo completar cuadrados igualmente y con más trabajo.

Y no olvides deshacer el cambio al final: la respuesta debe estar en función de $x$ . Es el descuido más común en los ejercicios con sugerencia de cambio de variable.