Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2008 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto $(1,2)$ , encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo.

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Resultado

\boxed{\;\frac{x}{p}+\frac{y}{q} = 1 \text{ por } (1,2): \ \frac1p+\frac2q = 1 \;\Longrightarrow\; q = \frac{2p}{p-1}\;}

\boxed{\;A(p) = \frac{pq}{2} = \frac{p^{2}}{p-1}\;}

\boxed{\;A'(p) = \frac{p\,(p-2)}{(p-1)^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; p = 2 \ (p>1)\;}

\boxed{\;q = 4, \quad \text{recta } 2x+y = 4, \quad A_{\min} = 4 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La forma más cómoda de escribir una recta que corta a los dos ejes es la ecuación segmentaria:

\frac{x}{p}+\frac{y}{q} = 1 \qquad (p,q>0)

donde

p

q

son precisamente los cortes con los ejes. Entonces:

la condición "pasa por $(1,2)$ " es $\;\dfrac1p+\dfrac2q = 1$ ,
el triángulo tiene catetos $p$ y $q$ , luego área $=\dfrac{pq}{2}$ .

Se despeja

q

en función de

p

y se minimiza.

Desarrollo

La recta y la ligadura.

\frac{x}{p}+\frac{y}{q} = 1 \qquad \text{pasa por } (1,2): \quad \frac1p+\frac2q = 1

Despejamos $q$ .

\frac2q = 1-\frac1p = \frac{p-1}{p} \;\Longrightarrow\; q = \frac{2p}{p-1}, \qquad p>1

(Hace falta $p>1$ para que $q>0$ .)

El área.

A(p) = \frac{p\,q}{2} = \frac{p}{2}\cdot\frac{2p}{p-1} = \frac{p^{2}}{p-1}

Derivamos (regla del cociente):

A'(p) = \frac{2p\,(p-1)-p^{2}}{(p-1)^{2}} = \frac{2p^{2}-2p-p^{2}}{(p-1)^{2}} = \frac{p^{2}-2p}{(p-1)^{2}} = \frac{p\,(p-2)}{(p-1)^{2}}

A'(p) = 0 \;\Longleftrightarrow\; p = 0 \ \text{(descartado)} \quad \text{o} \quad p = 2

Es mínimo: el denominador es positivo, así que el signo de

A'

es el de

p(p-2)

, y con

p>1

1<p<2 \Rightarrow A'<0 \ \text{(decrece)} \qquad p>2 \Rightarrow A'>0 \ \text{(crece)}

La recta y el área.

p = 2 \;\Longrightarrow\; q = \frac{2\cdot2}{2-1} = 4

\frac{x}{2}+\frac{y}{4} = 1 \;\Longrightarrow\; 2x+y = 4

A_{\min} = \frac{2\cdot4}{2} = 4 \ \text{u}^{2}

Comprobaciones. La recta pasa por

(1,2)

\;2+2 = 4

\;\checkmark

Corta a los ejes en

(2,0)

(0,4)

, ambos en las partes positivas

\;\checkmark

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Consejo

La ecuación segmentaria $\frac{x}{p}+\frac{y}{q} = 1$ es la herramienta natural aquí: los parámetros son los catetos del triángulo, así que el área es $\frac{pq}{2}$ sin más.

Alternativa equivalente: escribir la recta como $y-2 = m\,(x-1)$ con $m<0$ y calcular los cortes. Funciona, pero las expresiones son más feas.

No olvides la restricción $p>1$ : es lo que garantiza $q>0$ y lo que permite descartar la raíz $p = 0$ del numerador de $A'$ .