Opción A · Ejercicio 2. Sea f una función continua en el intervalo [2,3] y F una función primitiva de f tal que F(2) = 1 y F(3) = 2. Calcula: a) [0,75 puntos] \displaystyle\int_{2}^{3}f(x)\,dx b) [0,75 puntos] \displaystyle\int_{2}^{3}\bigl(5f(x)-7\bigr)\,dx c) [1 punto] \displaystyle\int_{2}^{3}\bigl(F(x)\bigr)^{2}f(x)\,dx

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

f

una función continua en el intervalo

[2,3]

F

una función primitiva de

f

tal que

F(2) = 1

F(3) = 2

. Calcula:

a) [0,75 puntos]

\displaystyle\int_{2}^{3}f(x)\,dx

b) [0,75 puntos]

\displaystyle\int_{2}^{3}\bigl(5f(x)-7\bigr)\,dx

c) [1 punto]

\displaystyle\int_{2}^{3}\bigl(F(x)\bigr)^{2}f(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \int_{2}^{3}f = F(3)-F(2) = 2-1 = 1\;}

\boxed{\;\text{b) } \int_{2}^{3}(5f-7) = 5\cdot 1-7\,(3-2) = -2\;}

\boxed{\;\text{c) } \bigl(F\bigr)^{2}f = u^{2}u' \ \text{ con } u = F \;\Longrightarrow\; \text{primitiva } \frac{F^{3}}{3}\;}

\boxed{\;\int_{2}^{3}F^{2}f = \frac{F(3)^{3}-F(2)^{3}}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No se conoce

f

: todo se resuelve con la regla de Barrow y propiedades, usando solo los dos valores de

F

a) Barrow directo: $\int_{2}^{3}f = F(3)-F(2)$ .
b) Linealidad: $\int(5f-7) = 5\int f-7\int 1$ , y $\int_{2}^{3}dx = 3-2 = 1$ .
c) Aquí está la gracia: como $F' = f$ , el integrando $\bigl(F\bigr)^{2}F'$ es de la forma $u^{2}u'$ , cuya primitiva es $\dfrac{u^{3}}{3}$ .

Desarrollo

a) Regla de Barrow.

\int_{2}^{3}f(x)\,dx = F(3)-F(2) = 2-1 = 1

b) Linealidad de la integral.

\int_{2}^{3}\bigl(5f(x)-7\bigr)dx = 5\int_{2}^{3}f(x)\,dx-7\int_{2}^{3}dx

= 5\cdot 1-7\,(3-2) = 5-7 = -2

c) La integral con $F$ . Como

F'(x) = f(x)

, el integrando es

\bigl(F(x)\bigr)^{2}F'(x)

que es de tipo

u^{2}u'

con

u = F(x)

. Su primitiva es

\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} \;\Longrightarrow\; \int\bigl(F(x)\bigr)^{2}f(x)\,dx = \frac{\bigl(F(x)\bigr)^{3}}{3}

Aplicando Barrow.

\int_{2}^{3}\bigl(F(x)\bigr)^{2}f(x)\,dx = \left[\frac{\bigl(F(x)\bigr)^{3}}{3}\right]_{2}^{3} = \frac{F(3)^{3}-F(2)^{3}}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}

Comprobación con un ejemplo concreto. Si

f(x) = 2x-4

, entonces

F(x) = x^{2}-4x+5

cumple

F(2) = 1

F(3) = 2

, y:

\int_{2}^{3}(2x-4)\,dx = \bigl[x^{2}-4x\bigr]_{2}^{3} = -3-(-4) = 1 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No hace falta conocer $f$ : todo sale de la regla de Barrow y de los dos valores de $F$ . Si te pones a buscar una función concreta, pierdes el tiempo.

En b), $\int_{2}^{3}7\,dx = 7\cdot(3-2) = 7$ . Aquí coincide con la constante porque el intervalo mide $1$ , pero la regla es otra: la integral de una constante es la constante por la longitud del intervalo (y nunca $0$ ).

En c), reconocer el patrón $u^{2}u'$ es todo el ejercicio. Es la misma idea que $\int f^{n}f' = \frac{f^{n+1}}{n+1}$ , con $u = F$ y $u' = f$ .