Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \begin{cases} x\,|x| & \text{si } x\leq2 \\ 6-x & \text{si } x>2\end{cases}

a) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de

f

.

b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de

f

.

c) [0,75 puntos] Calcula el área comprendida entre la gráfica de

f

y el eje de abscisas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = \begin{cases} -x^{2} & x\leq0 \\ x^{2} & 0<x\leq2 \\ 6-x & x>2\end{cases}\;}

\boxed{\;f'(0^{-}) = f'(0^{+}) = 0 \;\Longrightarrow\; \text{derivable en } 0\;}

\boxed{\;f'(2^{-}) = 4 \neq -1 = f'(2^{+}) \;\Longrightarrow\; \text{derivable en } \mathbb{R}\setminus\{2\}\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{2}x^{2}dx+\int_{2}^{6}(6-x)dx = \frac83+8 = \frac{32}{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay dos puntos delicados:

x = 0

(por el valor absoluto) y

x = 2

(por el empalme):

f(x) = \begin{cases} -x^{2} & \text{si } x\leq0 \\ x^{2} & \text{si } 0<x\leq2 \\ 6-x & \text{si } x>2\end{cases}

x = 0

sí hay derivabilidad (las dos derivadas laterales valen

0

); en

x = 2

no.

Para el área, el recinto acotado va de

x = 0

(donde

f

se anula) a

x = 6

(donde la recta corta el eje).

Desarrollo

a) La gráfica.

Para $x\leq0$ : $\;f(x) = -x^{2}$ , parábola de ramas hacia abajo (rama izquierda, negativa).
Para $0<x\leq2$ : $\;f(x) = x^{2}$ , parábola de ramas hacia arriba, hasta $(2,4)$ .
Para $x>2$ : la recta $y = 6-x$ , decreciente, que corta el eje en $x = 6$ .

x = 0

y en

x = 2

la función es continua:

f(0) = 0

f(2^{-}) = 4 = f(2^{+}) = 4

.

b) La derivabilidad.

f'(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x<0 \\ 2x & \text{si } 0<x<2 \\ -1 & \text{si } x>2\end{cases}

En $x = 0$ :

f'(0^{-}) = -2\cdot0 = 0 \qquad f'(0^{+}) = 2\cdot0 = 0

\textbf{Sí es derivable en } x = 0, \ \text{con } f'(0) = 0

En $x = 2$ :

f'(2^{-}) = 4 \qquad f'(2^{+}) = -1

4 \neq -1 \;\Longrightarrow\; \textbf{No derivable en } x = 2

\textbf{Derivable en } \mathbb{R}\setminus\{2\}

c) El área. La gráfica corta el eje

X

x = 0

(

x|x| = 0

) y en

x = 6

(

6-x = 0

).

(Para $x<0$ la función es negativa y la región no está acotada, así que el recinto pedido es el de $[0,6]$ , donde $f\geq0$ .)

A = \int_{0}^{2}x^{2}\,dx+\int_{2}^{6}(6-x)\,dx

Primer trozo.

\int_{0}^{2}x^{2}dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac83

Segundo trozo (es un triángulo de base

4

y altura

4

\int_{2}^{6}(6-x)dx = \left[6x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{6} = (36-18)-(12-2) = 8

A = \frac83+8 = \frac{8+24}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$x|x|$ sí es derivable en $0$ : las dos ramas ( $-x^{2}$ y $x^{2}$ ) tienen tangente horizontal allí. No todo valor absoluto genera un pico.

El punto conflictivo es el empalme con la recta en $x=2$ , donde las pendientes son $4$ y $-1$ . Ahí sí hay un pico.

El segundo trozo es un triángulo de base $4$ y altura $4$ : se puede medir sin integrar ( $\frac{4\cdot4}{2} = 8$ ). Buen atajo y buena comprobación.