Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2019 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Dada

f : (1, e) \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano), determina la recta tangente a la gráfica de

f

que tiene pendiente máxima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \frac{x-1}{x^{2}}, \qquad f''(x) = \frac{2-x}{x^{3}}\;}

\boxed{\;f''(x) = 0 \Rightarrow x = 2 \in (1,e), \text{ con } f'' > 0 \text{ antes y } f'' < 0 \text{ después}: \text{ pendiente máxima}\;}

\boxed{\;\text{Punto } \left(2,\, \tfrac12 + \ln 2\right), \text{ pendiente } \tfrac14: \qquad y = \frac{x}{4} + \ln 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo que hay que maximizar no es $f$ , sino la pendiente de sus tangentes, es decir la propia

f'

. Por tanto:

Se calcula $f'$ — la función objetivo.
Sus puntos críticos salen de $f'' = 0$ .
Se comprueba que es máximo (con $f'''$ o con el signo de $f''$ ) y que cae dentro del intervalo abierto $(1,e)$ , que es el dominio dado.
Se escribe la recta tangente en ese punto.

Ese último paso es el que distingue este ejercicio de un "halla el punto de pendiente máxima": hay que dar la ecuación de la recta.

Desarrollo

Derivadas.

f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x^{2}}

f''(x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} = \frac{2 - x}{x^{3}}

Punto crítico de $f'$ . En el dominio

x \in (1,e)

se tiene

x^{3} > 0

, luego

f''(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2 - x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 2

2 \in (1, e)

porque

e \approx 2{,}718

. Está dentro del dominio.

Es máximo de la pendiente. El signo de

f''

es el de

2-x

1 < x < 2 \Rightarrow f'' > 0 \;(f' \text{ crece}); \qquad 2 < x < e \Rightarrow f'' < 0 \;(f' \text{ decrece})

Luego

f'

alcanza en

x=2

su máximo.

(Con la tercera derivada: $f'''(x) = \dfrac{2(x-3)}{x^{4}}$ y $f'''(2) = -\tfrac18 < 0$ , mismo resultado.)

Datos del punto de tangencia.

f(2) = \frac12 + \ln 2 \approx 1{,}193

f'(2) = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4} \qquad (\text{la pendiente máxima})

Recta tangente.

y - \left(\frac12 + \ln 2\right) = \frac{1}{4}\,(x - 2)

y = \frac{x}{4} - \frac12 + \frac12 + \ln 2

y = \frac{x}{4} + \ln 2

(Comprobación en $x=2$ : $\tfrac24 + \ln 2 = \tfrac12 + \ln 2 = f(2)\;\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Distingue bien qué se optimiza: la pendiente es $f'$ , así que los candidatos vienen de $f'' = 0$ , no de $f' = 0$ . Si resuelves $f'(x)=0$ obtienes $x=1$ , que además está fuera del intervalo abierto: doble error.

Comprueba que la solución cae dentro del dominio. Aquí el enunciado restringe a $(1,e)$ , y $2 < e \approx 2{,}72$ por muy poco. Ese detalle es deliberado y conviene escribirlo.

Y termina el ejercicio: se pide la recta tangente, no la abscisa ni la pendiente. Hay que evaluar $f(2)$ y montar $y - f(2) = f'(2)(x-2)$ .