Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2010 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Considera la función

f\colon[0,4]\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} x^{2}+a x+b & \text{si } 0\leq x\leq 2 \\ c\,x & \text{si } 2 < x\leq 4\end{cases}

a) [1,75 puntos] Sabiendo que

f

es derivable en todo el dominio y que verifica

f(0) = f(4)

, determina los valores de

a

b

c

.

b) [0,75 puntos] Para

a = -3

b = 4

c = 1

halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad}: 4+2a+b = 2c; \quad \text{Derivabilidad}: 4+a = c; \quad f(0)=f(4): b = 4c\;}

\boxed{\;a = -3, \quad b = 4, \quad c = 1\;}

\boxed{\;\text{b) } f' = 2x-3 = 0 \Rightarrow x = \tfrac32; \ \text{el segundo tramo } y = x \text{ crece}\;}

\boxed{\;\text{Mín. abs. } f\!\left(\tfrac32\right) = \tfrac74; \quad \text{Máx. abs. } 4 \text{ en } x = 0 \text{ y } x = 4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Tres incógnitas, tres condiciones:

- continuidad en

x=2

,
- igualdad de derivadas laterales en

x=2

,
-

f(0) = f(4)

b) Extremos absolutos en un intervalo cerrado: se evalúa $f$ en los extremos del dominio, en los puntos críticos y en el punto de empalme, y se compara.

Desarrollo

a) Las tres condiciones.

Continuidad en $x=2$ :

4+2a+b = 2c \qquad \text{(1)}

Derivabilidad en $x=2$ :

f'(x) = \begin{cases} 2x+a & \text{si } x<2 \\ c & \text{si } x>2\end{cases} \;\Longrightarrow\; 4+a = c \qquad \text{(2)}

Condición $f(0) = f(4)$ :

b = 4c \qquad \text{(3)}

Resolvemos. Sustituyendo (2) en (1):

4+2a+b = 2\,(4+a) = 8+2a \;\Longrightarrow\; 4+b = 8 \;\Longrightarrow\; b = 4

De (3):

\;4 = 4c \Rightarrow c = 1

. Y de (2):

\;a = c-4 = -3

a = -3, \qquad b = 4, \qquad c = 1

Comprobaciones.

f(2^{-}) = 4-6+4 = 2

f(2^{+}) = 2

\checkmark

;

\;f'(2^{-}) = 4-3 = 1 = c

\checkmark

;

\;f(0) = 4 = f(4)

\checkmark

b) Extremos absolutos. Con esos valores,

f(x) = \begin{cases} x^{2}-3x+4 & \text{si } 0\leq x\leq2 \\ x & \text{si } 2<x\leq4\end{cases}

Puntos críticos del primer tramo:

f'(x) = 2x-3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac32 \in[0,2]

Es una parábola de ramas hacia arriba, así que

x = \frac32

es un mínimo.

El segundo tramo es la recta

y = x

: creciente, sin puntos críticos.

Los candidatos.

f(0) = 4 \qquad f\!\left(\frac32\right) = \frac94-\frac92+4 = \frac74 = 1{,}75 \qquad f(2) = 2 \qquad f(4) = 4

Comparando:

\frac74 < 2 < 4

\textbf{Mínimo absoluto: } f\!\left(\tfrac32\right) = \tfrac74

\textbf{Máximo absoluto: } 4, \text{ alcanzado en } x = 0 \textbf{ y en } x = 4

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con función a trozos, primero continuidad y después derivabilidad: son dos ecuaciones distintas. Aquí la tercera la aporta la condición $f(0)=f(4)$ .

El máximo absoluto se alcanza en dos puntos ( $x=0$ y $x=4$ ), y hay que decirlo. Un extremo absoluto puede repetirse: lo único que no se repite es el valor.

No olvides evaluar en el punto de empalme $x=2$ ni en los extremos del dominio. Los candidatos son siempre: extremos del intervalo, ceros de $f'$ y puntos de empalme.