Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2015 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Halla los valores

a

b

c

sabiendo que la gráfica de la función

f(x) = \frac{a\,x^{2}+b}{x+c}

tiene una asíntota vertical en

x = 1

, una asíntota oblicua de pendiente

2

, y un extremo local en el punto de abscisa

x = 3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{A.V. en } x=1 \;\Longrightarrow\; c = -1\;}

\boxed{\;m = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = a = 2\;}

\boxed{\;f'(x) = \frac{2x^{2}-4x-b}{(x-1)^{2}}, \quad f'(3) = 0 \;\Longrightarrow\; b = 6\;}

\boxed{\;f(x) = \frac{2x^{2}+6}{x-1}, \quad \text{con asíntota oblicua } y = 2x+2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres condiciones, tres incógnitas, y cada una determina una sola de ellas si se toman en el orden adecuado:

Asíntota vertical en $x=1$ : el denominador se anula ahí $\Rightarrow$ $c = -1$ (y hay que comprobar después que el numerador no se anula, o la asíntota no existiría).
Asíntota oblicua de pendiente 2: la pendiente es $m = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ , que en un cociente de grados $2$ y $1$ vale el cociente de coeficientes principales $\Rightarrow$ $a = 2$ .
Extremo local en $x=3$ : $f'(3) = 0$ , y con $a$ y $c$ ya conocidos queda una ecuación en $b$ .

Desarrollo

1) La asíntota vertical. El denominador

x+c

se anula en

x = -c

, y esa abscisa debe ser

1

-c = 1 \;\Longrightarrow\; c = -1 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = \frac{a x^{2}+b}{x-1}

2) La asíntota oblicua. Su pendiente es

m = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{a x^{2}+b}{x^{2}-x} = a

a = 2 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = \frac{2x^{2}+b}{x-1}

3) El extremo local. Derivada del cociente:

f'(x) = \frac{4x\,(x-1)-\bigl(2x^{2}+b\bigr)}{(x-1)^{2}} = \frac{2x^{2}-4x-b}{(x-1)^{2}}

f'(3) = 0 \;\Longrightarrow\; 2\cdot 9-12-b = 18-12-b = 6-b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 6

a = 2, \qquad b = 6, \qquad c = -1 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = \frac{2x^{2}+6}{x-1}

Comprobación de la asíntota vertical. En

x=1

el numerador vale

2+6 = 8 \neq 0

: la asíntota existe de verdad (si valiera

0

habría un hueco evitable, no una asíntota).

Comprobación de la oblicua. Dividiendo:

\frac{2x^{2}+6}{x-1} = 2x+2+\frac{8}{x-1} \;\Longrightarrow\; y = 2x+2 \quad \text{(pendiente } 2 \;\checkmark)

Comprobación del extremo.

f'(x) = \frac{2x^{2}-4x-6}{(x-1)^{2}} = \frac{2(x-3)(x+1)}{(x-1)^{2}}

Se anula en

x = 3

\checkmark

(y en

x = -1

). En

x=3

la derivada pasa de negativa a positiva: mínimo local, con

f(3) = \frac{24}{2} = 12

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Una asíntota vertical exige que se anule el denominador y no el numerador. Aquí hay que comprobarlo al final, cuando ya conoces $b$ : si hubiera salido $b = -2$ , el factor $(x-1)$ se simplificaría y no habría asíntota.

La pendiente de la oblicua es $\lim\frac{f(x)}{x}$ . En un cociente de polinomios de grados $2$ y $1$ eso es el cociente de los coeficientes principales: $\frac{a}{1} = a$ . No hace falta hacer la división para este apartado.

Al derivar el cociente, no desarrolles $(x-1)^{2}$ del denominador: solo importa el numerador, porque el denominador es siempre positivo. Y ordena las condiciones —vertical, oblicua, extremo— para ir despejando una incógnita cada vez.