Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2024 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque B). Halla la función

f : (2,+\infty) \to \mathbb{R}

que pasa por el punto

\bigl(3,\ -4\ln 5\bigr)

y verifica

f'(x) = \frac{3x^{2} + 4x + 12}{x^{2} - 4}

donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = 3x + 8\ln(x-2) - 4\ln(x+2) - 9\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay que integrar una función racional impropia (grado

2

arriba y grado

2

abajo), así que el primer paso es la división: sale una constante más una fracción propia. El denominador factoriza,

x^{2}-4 = (x-2)(x+2)

, luego después toca fracciones simples y aparecen dos logaritmos.

Un detalle que simplifica la escritura: el dominio es

(2,+\infty)

, así que

x-2>0

x+2>0

y los valores absolutos de los logaritmos se pueden quitar. Y el punto

x=3

está elegido para que

\ln(x-2) = \ln 1 = 0

, lo que hace trivial el ajuste de la constante.

Desarrollo

Paso 1: división. Como

3x^{2}+4x+12 = 3\bigl(x^{2}-4\bigr) + 4x + 24

f'(x) = 3 + \frac{4x+24}{x^{2}-4}

Paso 2: fracciones simples. Con

x^{2}-4 = (x-2)(x+2)

\frac{4x+24}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} \;\Longrightarrow\; 4x + 24 = A(x+2) + B(x-2)

x = 2: \ 32 = 4A \;\Longrightarrow\; A = 8 \qquad\qquad x = -2: \ 16 = -4B \;\Longrightarrow\; B = -4

f'(x) = 3 + \frac{8}{x-2} - \frac{4}{x+2}

Paso 3: integrar. En el dominio

(2,+\infty)

ambos argumentos son positivos:

f(x) = 3x + 8\ln(x-2) - 4\ln(x+2) + C

Paso 4: imponer el punto $\bigl(3, -4\ln 5\bigr)$ .

f(3) = 9 + 8\underbrace{\ln 1}_{=\,0} - 4\ln 5 + C = 9 - 4\ln 5 + C

9 - 4\ln 5 + C = -4\ln 5 \;\Longrightarrow\; C = -9

La función:

f(x) = 3x + 8\ln(x-2) - 4\ln(x+2) - 9

Comprobación. Derivando:

f'(x) = 3 + \frac{8}{x-2} - \frac{4}{x+2} = 3 + \frac{8(x+2) - 4(x-2)}{x^{2}-4} = 3 + \frac{4x+24}{x^{2}-4} = \frac{3x^{2}-12+4x+24}{x^{2}-4} = \frac{3x^{2}+4x+12}{x^{2}-4}

f(3) = 9 + 0 - 4\ln 5 - 9 = -4\ln 5

✓.

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Consejo

Grado $2$ arriba y grado $2$ abajo también es "impropia": hay que dividir primero. Aquí el cociente es la constante $3$ , y olvidarla hace desaparecer el término $3x$ de la respuesta, con lo que la constante $C$ sale mal.

Aprovecha el dominio $(2,+\infty)$ para escribir $\ln(x-2)$ sin valor absoluto, y fíjate en que $x=3$ anula ese logaritmo: por eso el ajuste de $C$ es una resta inmediata. Cuando el enunciado elige un punto "raro" como $\bigl(3,-4\ln 5\bigr)$ , casi siempre es para simplificarte ese paso.