Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea

f : (-1,3)\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \frac{x+9}{(x+1)(x-3)}

Determina la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

(1,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{x+9}{(x+1)(x-3)} = \frac{-2}{x+1}+\frac{3}{x-3}\;}

\boxed{\;\text{En } (-1,3): \ x+1>0 \ \text{ y } \ 3-x>0 \;\Longrightarrow\; F(x) = -2\ln(x+1)+3\ln(3-x)+K\;}

\boxed{\;F(1) = -2\ln2+3\ln2+K = \ln2+K = 0 \;\Longrightarrow\; K = -\ln 2\;}

\boxed{\;F(x) = -2\ln(x+1)+3\ln(3-x)-\ln 2 = \ln\frac{(3-x)^{3}}{2(x+1)^{2}}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral racional con dos raíces reales simples ya factorizadas: descomposición en fracciones simples directa.

Un detalle importante que suele pasarse por alto: el dominio es

(-1,3)

, así que en todo el intervalo se cumple

x+1 > 0 \qquad \text{y} \qquad x-3 < 0

Por eso conviene escribir

\ln(x+1)

\ln(3-x)

sin valor absoluto: los argumentos ya son positivos.

Desarrollo

Fracciones simples.

\frac{x+9}{(x+1)(x-3)} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3} \;\Longrightarrow\; x+9 = A\,(x-3)+B\,(x+1)

x = -1: \quad 8 = -4A \;\Longrightarrow\; A = -2

x = 3: \quad 12 = 4B \;\Longrightarrow\; B = 3

f(x) = \frac{-2}{x+1}+\frac{3}{x-3}

La familia de primitivas. En

(-1,3)

, con

x+1>0

3-x>0

F(x) = -2\ln(x+1)+3\ln(3-x)+K

(El segundo término: $\int\frac{3\,dx}{x-3} = 3\ln\lvert x-3\rvert = 3\ln(3-x)$ en este intervalo.)

Comprobación (derivando).

F'(x) = \frac{-2}{x+1}+3\cdot\frac{-1}{3-x} = \frac{-2}{x+1}+\frac{3}{x-3} = f(x) \;\checkmark

La condición del punto $(1,0)$ . Como

1\in(-1,3)

F(1) = -2\ln 2+3\ln 2+K = \ln 2+K = 0 \;\Longrightarrow\; K = -\ln 2

F(x) = -2\ln(x+1)+3\ln(3-x)-\ln 2

(También se puede escribir como $\;F(x) = \ln\dfrac{(3-x)^{3}}{2\,(x+1)^{2}}$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El dominio $(-1,3)$ no es decorativo: dice que $x-3$ es negativo en todo el intervalo, así que $\ln\lvert x-3\rvert = \ln(3-x)$ . Escribirlo así evita arrastrar valores absolutos.

Para hallar $A$ y $B$ , sustituye las raíces del denominador: cada una anula un término y da la otra constante de golpe. Es más rápido que igualar coeficientes.

No olvides el $+K$ ni la condición del punto: se pide la primitiva que pasa por $(1,0)$ , no la familia. Y comprueba derivando antes de imponerla.