Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Considera la función

f

definida por

f(x) = \frac{x^{2}}{x - 1} \qquad \text{para } x \neq 1

a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1,5 puntos] Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de

f

. Calcula los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = x + 1 + \frac{1}{x-1}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{A.V.: } x = 1; \quad \text{A. oblicua: } y = x+1; \quad \text{sin horizontal}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = \frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}: \text{ crece en } (-\infty,0)\cup(2,\infty), \text{ decrece en } (0,1)\cup(1,2)\;}

\boxed{\;\text{Máximo relativo } (0,0); \qquad \text{mínimo relativo } (2,4)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función racional con el numerador de un grado más que el denominador: eso garantiza asíntota oblicua y descarta la horizontal.

El movimiento que lo simplifica todo es la división:

\frac{x^{2}}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1}

Con esa forma, la oblicua se lee sin calcular límites y la derivada sale en dos líneas.

Desarrollo

La división.

x^{2} = (x-1)(x+1) + 1 \;\Longrightarrow\; f(x) = x + 1 + \frac{1}{x-1}

a) Asíntota vertical. El denominador se anula en

x=1

, donde el numerador vale

1 \neq 0

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}}{x-1} = \frac{1}{0^{-}} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 1^{+}} = \frac{1}{0^{+}} = +\infty

\textbf{Asíntota vertical: } x = 1

Horizontal: no hay, porque

\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \pm\infty

.

Oblicua. Con la descomposición está a la vista, pues

\dfrac{1}{x-1}\to 0

m = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} = 1, \qquad n = \lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x) - x\bigr) = 1

\textbf{Asíntota oblicua: } y = x + 1

(El resto $\frac{1}{x-1}$ es positivo a la derecha de $x=1$ y negativo a la izquierda: la curva va por encima de la asíntota en la rama derecha y por debajo en la izquierda.)

b) Monotonía. Derivando la forma descompuesta:

f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^{2}} = \frac{(x-1)^{2} - 1}{(x-1)^{2}} = \frac{x^{2} - 2x}{(x-1)^{2}} = \frac{x\,(x-2)}{(x-1)^{2}}

El denominador es siempre positivo, luego el signo lo da

x\,(x-2)

\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Intervalo} & x & x-2 & f' & f \\ \hline (-\infty,\, 0) & - & - & + & \text{creciente} \\ (0,\, 1) & + & - & - & \text{decreciente} \\ (1,\, 2) & + & - & - & \text{decreciente} \\ (2,\, +\infty) & + & + & + & \text{creciente}\end{array}

\text{Creciente en } (-\infty,0)\cup(2,+\infty); \qquad \text{decreciente en } (0,1)\cup(1,2)

Extremos relativos.

x = 0: \text{ pasa de crecer a decrecer} \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo relativo}, \quad f(0) = \frac{0}{-1} = 0

x = 2: \text{ pasa de decrecer a crecer} \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo relativo}, \quad f(2) = \frac{4}{1} = 4

\text{Máximo } (0,\, 0); \qquad \text{mínimo } (2,\, 4)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Divide antes de derivar. Con $f = x+1+\frac{1}{x-1}$ , la derivada sale de inmediato y la asíntota oblicua se lee sin calcular ningún límite. La regla del cociente sobre la expresión original también funciona, pero cuesta el doble.

El máximo relativo vale $0$ y el mínimo relativo vale $4$ : el máximo está por debajo del mínimo. No es un error, es lo que ocurre cuando una asíntota vertical separa las dos ramas de la gráfica; por eso son extremos relativos y no absolutos.

Al escribir los intervalos, excluye $x=1$ : la función no está definida ahí, así que hay dos intervalos de decrecimiento, no uno.