Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = (x - a)\,e^{x}

.

a) [1,25 puntos] Determina

a

sabiendo que la función tiene un punto crítico en

x = 0

.

b) [1,25 puntos] Para

a = 1

, calcula los puntos de inflexión de la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = e^{x}(x - a + 1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad f'(0) = 1 - a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f''(x) = e^{x}(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1, \text{ con cambio de signo}: \; \left(-1,\, -\tfrac{2}{e}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Derivadas de un producto en el que uno de los factores es

e^{x}

: en cuanto se saca

e^{x}

como factor común, todo queda en manos del polinomio que la acompaña, porque

e^{x} > 0

nunca se anula.

a) "Punto crítico en $x=0$ " significa $f'(0) = 0$ . Una ecuación, una incógnita.
b) Inflexión $\Rightarrow$ $f'' = 0$ con cambio de signo. Hay que dar el punto completo $(x, f(x))$ .

Desarrollo

a) Primera derivada.

f'(x) = 1\cdot e^{x} + (x - a)\,e^{x} = e^{x}\,\bigl(x - a + 1\bigr)

Condición del punto crítico.

f'(0) = e^{0}\,(0 - a + 1) = 1 - a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

(Comprobación: con $a=1$ , $f'(x) = e^{x}\,x$ , que efectivamente se anula solo en $x=0$ . Además $f'$ cambia de negativo a positivo ahí, así que es un mínimo.)

b) Caso $a = 1$ . Ahora

f(x) = (x-1)e^{x}

f'(x) = x\,e^{x}

f''(x) = 1\cdot e^{x} + x\,e^{x} = e^{x}\,(x + 1)

Ceros de la segunda derivada. Como

e^{x} > 0

siempre:

f''(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = -1

Cambio de signo.

x < -1 \Rightarrow f'' < 0 \;(\text{cóncava}); \qquad x > -1 \Rightarrow f'' > 0 \;(\text{convexa})

Hay cambio de curvatura:

x = -1

es un punto de inflexión.

Ordenada.

f(-1) = (-1-1)\,e^{-1} = -\frac{2}{e} \approx -0{,}736

\text{Punto de inflexión: } \left(-1,\; -\frac{2}{e}\right)

Es el único, porque

f''

solo se anula en ese punto.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Saca siempre $e^{x}$ factor común al derivar: $\bigl(e^{x}P(x)\bigr)' = e^{x}\bigl(P(x)+P'(x)\bigr)$ . Con eso, cada derivada sucesiva solo desplaza el polinomio en una unidad y el ejercicio se hace de cabeza.

La exponencial nunca se anula, así que no aporta soluciones: todas las raíces vienen del polinomio. Escribirlo explícitamente ("como $e^{x}>0$ …") es lo que se valora como justificación.

Y en b) no basta con resolver $f''=0$ : hay que comprobar el cambio de signo. Un cero de $f''$ sin cambio de curvatura (por ejemplo, en $y = x^{4}$ con $x=0$ ) no es punto de inflexión. Añade además la ordenada: se piden los puntos, no las abscisas.