Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Calcula la función polinómica, de grado

3

, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto

(0,2)

y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa

x = 1

es la recta

x + y = 3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(0) = 2 \Rightarrow d = 2; \qquad f'(0) = 0 \Rightarrow c = 0\;}

\boxed{\;\text{Tangente } y = 3-x: \quad f(1) = 2 \Rightarrow a+b = 0, \qquad f'(1) = -1 \Rightarrow 3a+2b = -1\;}

\boxed{\;a = -1, \; b = 1, \; c = 0, \; d = 2 \;\Longrightarrow\; f(x) = -x^{3} + x^{2} + 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un polinomio de grado

3

tiene cuatro coeficientes,

f(x) = a\,x^{3} + b\,x^{2} + c\,x + d

y los dos datos aportan dos ecuaciones cada uno:

Extremo relativo en $(0,2)$ : $\;f(0) = 2\;$ (pasa por el punto) y $\;f'(0) = 0\;$ (es extremo).
Tangente en $x=1$ igual a $x+y=3$ , es decir $y = 3-x$ : $\;f(1) = 2\;$ (evaluando la recta) y $\;f'(1) = -1\;$ (su pendiente).

Y el sistema se resuelve en cascada, porque las condiciones en

x=0

dan

c

d

de inmediato.

Desarrollo

Derivada.

f'(x) = 3a\,x^{2} + 2b\,x + c

Condiciones en $x = 0$ .

f(0) = d = 2

f'(0) = c = 0

La recta tangente. De

x+y = 3

se despeja

y = 3 - x

: pendiente

-1

, y en

x=1

vale

3-1 = 2

.

Condición del punto:

f(1) = a + b + c + d = 2 \;\Longrightarrow\; a + b + 0 + 2 = 2 \;\Longrightarrow\; a + b = 0

Condición de la pendiente:

f'(1) = 3a + 2b + c = -1 \;\Longrightarrow\; 3a + 2b = -1

Sistema. De

b = -a

3a - 2a = -1 \;\Longrightarrow\; a = -1, \qquad b = 1

a = -1, \quad b = 1, \quad c = 0, \quad d = 2

f(x) = -x^{3} + x^{2} + 2

Comprobaciones.

f(0) = 2 \;\checkmark \qquad f(1) = -1 + 1 + 2 = 2 \;\checkmark

f'(x) = -3x^{2} + 2x \;\Longrightarrow\; f'(0) = 0 \;\checkmark, \qquad f'(1) = -3 + 2 = -1 \;\checkmark

(Y es realmente un extremo: $f''(x) = -6x + 2$ , luego $f''(0) = 2 > 0$ y en $x=0$ hay un mínimo relativo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cada dato aporta dos ecuaciones: el punto por el que pasa y la condición sobre la derivada. Con solo dos ecuaciones el sistema quedaría indeterminado y no habría una única función.

La recta viene como $x+y=3$ : hay que despejar $y = 3-x$ para leer la pendiente ( $-1$ ) y evaluar en $x=1$ para obtener $f(1) = 2$ . Confundir el $3$ del enunciado con $f(1)$ es un despiste habitual.

Empieza por $x=0$ : ahí el polinomio se reduce a $d$ y la derivada a $c$ , así que dos incógnitas caen sin esfuerzo. El sistema restante es $2\times 2$ y trivial.