Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Determina la función

f : (0,\infty)\to\mathbb{R}

sabiendo que

f''(x) = \ln(x)

y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto

P(1,2)

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \int\ln x\,dx = x\ln x-x+C; \qquad f'(1) = 0 \Rightarrow C = 1\;}

\boxed{\;\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}\;}

\boxed{\;f(x) = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{3x^{2}}{4}+x+D; \qquad f(1) = 2 \Rightarrow D = \frac74\;}

\boxed{\;f(x) = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{3x^{2}}{4}+x+\frac74\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se integra dos veces, apareciendo dos constantes, y se fijan con las dos condiciones que esconde el punto

P

"Tangente horizontal en $P$ ": $\;f'(1) = 0$ .
"En el punto $P(1,2)$ ": $\;f(1) = 2$ .

Las dos integrales son por partes:

\int \ln x\,dx \qquad \text{y} \qquad \int x\ln x\,dx

con

u = \ln x

en ambos casos (es lo único que sabemos derivar cómodamente).

Desarrollo

Primera integración: $\int\ln x\,dx$ . Por partes con

u = \ln x

dv = dx

du = \frac{dx}{x}, \quad v = x \;\Longrightarrow\; \int\ln x\,dx = x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x-x

f'(x) = x\ln x-x+C

Condición de tangente horizontal: $f'(1) = 0$ . Como

\ln 1 = 0

0-1+C = 0 \;\Longrightarrow\; C = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad f'(x) = x\ln x-x+1

Segunda integración. El término delicado es

\int x\ln x\,dx

; por partes con

u = \ln x

dv = x\,dx

du = \frac{dx}{x}, \quad v = \frac{x^{2}}{2}

\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\int\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac1x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}

La función, con los otros dos términos:

f(x) = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x+D = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{3x^{2}}{4}+x+D

Condición del punto: $f(1) = 2$ .

0-\frac34+1+D = 2 \;\Longrightarrow\; D = 2-\frac14 = \frac{7}{4}

f(x) = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{3x^{2}}{4}+x+\frac{7}{4}

Comprobación.

f'(x) = x\ln x+\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}+1 = x\ln x-x+1 \;\checkmark \qquad f'(1) = 0-1+1 = 0 \;\checkmark

f''(x) = \ln x+1-1 = \ln x \;\checkmark \qquad f(1) = 0-\frac34+1+\frac74 = 2 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El punto $P(1,2)$ aporta dos condiciones: la ordenada ( $f(1)=2$ ) y la pendiente ( $f'(1)=0$ , por ser tangente horizontal). Justo las dos que hacen falta para las dos constantes.

$\int\ln x\,dx$ es por partes, con $dv = dx$ . Es una integral que hay que tener memorizada: $x\ln x - x$ . La segunda, $\int x\ln x\,dx$ , sigue el mismo esquema con $dv = x\,dx$ .

Aplica la primera condición antes de la segunda integración: así arrastras un número ( $C=1$ ) en vez de una letra, y el resto del cálculo es más limpio. Al final, comprueba derivando dos veces.