Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Considera las funciones

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definidas por

f(x) = 2-x^{2} \qquad \text{y} \qquad g(x) = |x|

a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f: \text{ parábola, vértice } (0,2); \quad g = |x|: \text{ uve con vértice en el origen}\;}

\boxed{\;x\geq0: \ 2-x^{2} = x \Rightarrow x^{2}+x-2 = 0 \Rightarrow x = 1 \ (x = -2 \text{ no vale})\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (\pm1,\,1); \ \text{arriba va } f \ \bigl(f(0) = 2 > g(0) = 0\bigr)\;}

\boxed{\;A = 2\int_{0}^{1}\bigl[2-x^{2}-x\bigr]dx = 2\cdot\frac76 = \frac73 \approx 2{,}33\ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

f

es una parábola con ramas hacia abajo y vértice

(0,2)

;

g

es la "uve"

y = |x|

, con vértice en el origen.

Las dos funciones son pares, así que todo es simétrico respecto del eje

Y

: basta trabajar en

x\geq0

(donde

|x| = x

) y duplicar el área.

Desarrollo

a) Las gráficas.

$f(x) = 2-x^{2}$ : parábola de ramas hacia abajo, vértice $(0,2)$ , cortes con el eje $X$ en $x = \pm\sqrt2$ .
$g(x) = |x|$ : dos semirrectas desde el origen, de pendientes $+1$ (derecha) y $-1$ (izquierda).

Los puntos de corte. Para

x\geq0

(

|x| = x

2-x^{2} = x \;\Longrightarrow\; x^{2}+x-2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+2)(x-1) = 0

x = 1 \qquad \text{o} \qquad x = -2 \ \text{(descartada: no es } \geq0)

Por simetría, el otro corte es

x = -1

\text{Cortes: } (-1,\,1) \qquad \text{y} \qquad (1,\,1)

b) El área. ¿Quién va arriba? En

x = 0

f(0) = 2 \qquad > \qquad g(0) = 0

La parábola está por encima en todo

[-1,1]

A = \int_{-1}^{1}\Bigl[\bigl(2-x^{2}\bigr)-|x|\Bigr]dx

Aprovechando la paridad (el integrando es par):

A = 2\int_{0}^{1}\bigl[2-x^{2}-x\bigr]dx = 2\left[2x-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}

= 2\left(2-\frac13-\frac12\right) = 2\cdot\frac{12-2-3}{6} = 2\cdot\frac76 = \frac73

A = \frac73 \approx 2{,}33 \ \text{u}^{2}

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Consejo

Con valor absoluto hay que partir en tramos antes de resolver la ecuación. Al hacer $|x| = x$ (válido solo si $x\geq0$ ) aparece $x = -2$ , que hay que descartar.

Si las dos funciones son pares, el recinto es simétrico: integra en $[0,1]$ y multiplica por $2$ . Menos cuentas y menos riesgo de error de signo.

Alternativa válida: $\int_{-1}^{0}(2-x^{2}+x)dx+\int_{0}^{1}(2-x^{2}-x)dx$ . Lo que no vale es integrar $2-x^{2}-x$ en todo $[-1,1]$ ignorando el valor absoluto.