Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

I = \int\frac{5}{1+\sqrt{e^{-x}}}\,dx

a) [1 punto] Expresa

I

haciendo el cambio de variable

\;t^{2} = e^{-x}

.

b) [1,5 puntos] Determina

I

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t^{2} = e^{-x} \;\Longrightarrow\; 2t\,dt = -t^{2}dx \;\Longrightarrow\; dx = -\frac{2}{t}\,dt\;}

\boxed{\;\text{a) } I = -10\int\frac{dt}{t\,(1+t)}\;}

\boxed{\;\frac{1}{t(1+t)} = \frac1t-\frac{1}{1+t} \;\Longrightarrow\; I = 10\ln\left|\frac{1+t}{t}\right|+K\;}

\boxed{\;I = 10\,\ln\bigl(e^{x/2}+1\bigr)+K\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El cambio viene dado. Lo delicado es calcular

dx

: se deriva implícitamente la igualdad

t^{2} = e^{-x}

2t\,dt = -e^{-x}\,dx = -t^{2}\,dx \;\Longrightarrow\; dx = -\frac{2\,dt}{t}

Y como

\sqrt{e^{-x}} = t

(con

t>0

), la integral se convierte en una racional muy sencilla, que se resuelve con fracciones simples.

Desarrollo

a) El cambio de variable.

t^{2} = e^{-x} \;\Longrightarrow\; t = \sqrt{e^{-x}} = e^{-x/2} > 0

Diferenciando:

2t\,dt = -e^{-x}\,dx = -t^{2}\,dx \;\Longrightarrow\; dx = -\frac{2}{t}\,dt

Sustituyendo:

I = \int\frac{5}{1+t}\cdot\left(-\frac{2}{t}\right)dt = -10\int\frac{dt}{t\,(1+t)}

b) La integral racional. Fracciones simples:

\frac{1}{t\,(1+t)} = \frac{A}{t}+\frac{B}{1+t} \;\Longrightarrow\; 1 = A\,(1+t)+B\,t

Con $t = 0$ :

\;A = 1

. Con $t = -1$ :

\;B = -1

\frac{1}{t\,(1+t)} = \frac1t-\frac{1}{1+t}

I = -10\left[\int\frac{dt}{t}-\int\frac{dt}{1+t}\right] = -10\Bigl[\ln|t|-\ln|1+t|\Bigr]+K

I = 10\,\ln\left|\frac{1+t}{t}\right|+K

Deshacemos el cambio (

t = e^{-x/2}>0

\frac{1+t}{t} = \frac{1+e^{-x/2}}{e^{-x/2}} = e^{x/2}+1

I = 10\,\ln\bigl(e^{x/2}+1\bigr)+K

Comprobación (derivando).

\frac{d}{dx}\Bigl[10\ln\bigl(e^{x/2}+1\bigr)\Bigr] = 10\cdot\frac{\tfrac12 e^{x/2}}{e^{x/2}+1} = \frac{5\,e^{x/2}}{e^{x/2}+1}

Y el integrando, multiplicando arriba y abajo por

e^{x/2}

\frac{5}{1+e^{-x/2}} = \frac{5\,e^{x/2}}{e^{x/2}+1} \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con un cambio dado en forma implícita ( $t^{2} = e^{-x}$ ), diferencia los dos miembros en vez de despejar $x$ . Aquí $2t\,dt = -t^{2}dx$ sale directo y evita logaritmos innecesarios.

$\sqrt{e^{-x}} = e^{-x/2}$ , que es siempre positivo: por eso $t>0$ y al final el valor absoluto se puede quitar.

No olvides deshacer el cambio: la respuesta debe estar en $x$ . Y comprueba derivando; con exponenciales, un $\frac12$ perdido en la regla de la cadena es el fallo más habitual.