Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se sabe que la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida como

f(x) = \begin{cases} -x^{2}+b x+1 & \text{si } x\leq1 \\ a x^{2}-5x+2a & \text{si } x>1\end{cases}

es derivable. Determina los valores de

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad}: \ b = 3a-5\;}

\boxed{\;\text{Derivabilidad}: \ -2+b = 2a-5 \;\Longrightarrow\; b = 2a-3\;}

\boxed{\;3a-5 = 2a-3 \;\Longrightarrow\; a = 2\;}

\boxed{\;a = 2, \qquad b = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

"Derivable" implica dos condiciones en el punto de empalme

x = 1

Continuidad: los dos trozos deben valer lo mismo en $x=1$ .
Igualdad de derivadas laterales.

Cada una da una ecuación en

a

b

; el sistema

2\times2

resultante se resuelve por igualación.

(Fuera de $x=1$ las dos expresiones son polinómicas, luego derivables sin más.)

Desarrollo

1) Continuidad en $x = 1$ .

f(1^{-}) = -1+b+1 = b \qquad f(1^{+}) = a-5+2a = 3a-5

b = 3a-5 \qquad \text{(1)}

2) Derivabilidad en $x = 1$ .

f'(x) = \begin{cases} -2x+b & \text{si } x<1 \\ 2a x-5 & \text{si } x>1\end{cases}

f'(1^{-}) = -2+b \qquad f'(1^{+}) = 2a-5

-2+b = 2a-5 \;\Longrightarrow\; b = 2a-3 \qquad \text{(2)}

Igualando (1) y (2).

3a-5 = 2a-3 \;\Longrightarrow\; a = 2

b = 2\cdot2-3 = 1

a = 2, \qquad b = 1

La función queda

f(x) = \begin{cases} -x^{2}+x+1 & \text{si } x\leq1 \\ 2x^{2}-5x+4 & \text{si } x>1\end{cases}

Comprobaciones.

f(1^{-}) = -1+1+1 = 1 \qquad f(1^{+}) = 2-5+4 = 1 \;\checkmark

f'(1^{-}) = -2+1 = -1 \qquad f'(1^{+}) = 4-5 = -1 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Derivable" incluye "continua": son dos condiciones, no una. Imponer solo la igualdad de derivadas deja el sistema indeterminado.

Cuidado con el término $2a$ del segundo trozo: es una constante que también depende de $a$ . Al evaluar $f(1^{+})$ hay que sumarlo, de ahí el $3a-5$ .

Cierra comprobando que en $x=1$ ambos trozos valen $1$ y ambas derivadas valen $-1$ . Son diez segundos y confirman todo el ejercicio.