Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2023 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera la función

f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \cos\!\left(\sqrt{x}\right)

. Calcula, si es posible, una primitiva de

f

cuya gráfica pase por el punto

(0, 5)

.

Sugerencia: haz el cambio $t = \sqrt{x}$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = 2\sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{x}\right) + 2\cos\!\left(\sqrt{x}\right) + 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un ejercicio de doble técnica: primero un cambio de variable y después una integración por partes. El propio enunciado regala el cambio.

Con

t = \sqrt{x}

se tiene

x = t^{2}

dx = 2t\,dt

, de modo que la integral se transforma en

\int 2t\cos t\,dt

, que es el caso clásico de "polinomio por función trigonométrica" y se resuelve por partes tomando

u = t

(el polinomio, que se deriva y desaparece).

Al final hay que deshacer el cambio —error frecuentísimo dejar el resultado en

t

— y usar el punto

(0,5)

para determinar la constante

C

Desarrollo

Cambio de variable.

t = \sqrt{x} \;\Longrightarrow\; x = t^{2} \;\Longrightarrow\; dx = 2t\,dt

\int \cos\!\left(\sqrt{x}\right)dx = \int \cos(t)\cdot 2t\,dt = 2\int t\cos t\,dt

Integración por partes. Tomamos

u = t \;\Longrightarrow\; du = dt, \qquad dv = \cos t\,dt \;\Longrightarrow\; v = \operatorname{sen} t

\int t\cos t\,dt = t\operatorname{sen} t - \int \operatorname{sen} t\,dt = t\operatorname{sen} t + \cos t + C_{1}

Por tanto

\int \cos\!\left(\sqrt{x}\right)dx = 2\bigl(t\operatorname{sen} t + \cos t\bigr) + C

Deshacer el cambio. Volviendo a

t = \sqrt{x}

F(x) = 2\sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{x}\right) + 2\cos\!\left(\sqrt{x}\right) + C

Determinación de $C$ . Imponemos

F(0) = 5

F(0) = 2\cdot 0\cdot \operatorname{sen}(0) + 2\cos(0) + C = 0 + 2 + C = 5 \;\Longrightarrow\; C = 3

F(x) = 2\sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{x}\right) + 2\cos\!\left(\sqrt{x}\right) + 3

Comprobación. Derivando, con

\bigl(\sqrt{x}\bigr)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

F'(x) = \frac{2}{2\sqrt{x}}\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{x}\right) + 2\sqrt{x}\cos\!\left(\sqrt{x}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} - 2\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{x}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}

= \frac{\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}} + \cos\!\left(\sqrt{x}\right) - \frac{\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}} = \cos\!\left(\sqrt{x}\right) \quad \checkmark

Los dos términos con seno se cancelan: esa cancelación es la señal de que la integración por partes está bien hecha.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El cambio de variable hay que hacerlo completo: si sustituyes $\sqrt{x}$ por $t$ pero te olvidas de cambiar también $dx$ por $2t\,dt$ , la integral que resuelves es otra ( $\int\cos t\,dt$ ) y el resultado no es primitiva de nada.

Y al terminar, deshaz el cambio antes de imponer la condición del punto. Si dejas la respuesta en función de $t$ y calculas $C$ con $t=0$ , el número sale igual (aquí $x=0$ corresponde a $t=0$ ), pero la primitiva pedida es una función de $x$ : el enunciado quiere $F(x)$ , no $F(t)$ . Con un punto de abscisa $x=4$ tendrías que usar $t=2$ , y confundirlos sí cambia $C$ .