Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea

f\colon[0,2\pi]\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = e^{x}\bigl(\operatorname{sen} x+\cos x\bigr)

a) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = 2\,e^{x}\cos x \;\Longrightarrow\; \text{tiene el signo de } \cos x\;}

\boxed{\;\text{Crece en } \left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right)\;}

\boxed{\;f'' = 2e^{x}\bigl(\cos x-\operatorname{sen} x\bigr) = 0 \iff x = \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{5\pi}{4}\;}

\boxed{\;\left(\tfrac{\pi}{4},\; \sqrt2\,e^{\pi/4}\right) \ \text{y} \ \left(\tfrac{5\pi}{4},\; -\sqrt2\,e^{5\pi/4}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La gracia del enunciado es que las derivadas se simplifican muchísimo: al derivar, la parte trigonométrica se cancela parcialmente.

f'(x) = 2\,e^{x}\cos x \qquad f''(x) = 2\,e^{x}\bigl(\cos x-\operatorname{sen} x\bigr)

Y como

e^{x}>0

siempre, el signo de

f'

es el de

\cos x

y el de

f''

el de

\cos x-\operatorname{sen} x

Desarrollo

a) La primera derivada.

f'(x) = e^{x}\bigl(\operatorname{sen} x+\cos x\bigr)+e^{x}\bigl(\cos x-\operatorname{sen} x\bigr)

= e^{x}\bigl(\operatorname{sen} x+\cos x+\cos x-\operatorname{sen} x\bigr) = 2\,e^{x}\cos x

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = \frac{\pi}{2} \ \text{ o } \ x = \frac{3\pi}{2}

El signo de $f'$ es el de $\cos x$ :

\begin{array}{c|c|c|c} & \left(0,\tfrac{\pi}{2}\right) & \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right) & \left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right) \\ \hline \cos x & + & - & + \\ \hline f & \text{crece} & \text{decrece} & \text{crece}\end{array}

\textbf{Crece en } \left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right) \qquad \textbf{Decrece en } \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right)

(En $x = \frac{\pi}{2}$ hay un máximo relativo y en $x = \frac{3\pi}{2}$ , un mínimo.)

b) Los puntos de inflexión.

f''(x) = 2\,e^{x}\cos x+2\,e^{x}\,(-\operatorname{sen} x) = 2\,e^{x}\bigl(\cos x-\operatorname{sen} x\bigr)

f''(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x = \operatorname{sen} x \;\Longleftrightarrow\; \tan x = 1

x = \frac{\pi}{4} \qquad \text{o} \qquad x = \frac{5\pi}{4}

Ambos son inflexiones, porque

\cos x-\operatorname{sen} x

cambia de signo en cada uno.

Las ordenadas. Con

\operatorname{sen}\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}

f\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\pi/4}\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right) = \sqrt2\,e^{\pi/4} \approx 3{,}10

Y con

\operatorname{sen}\frac{5\pi}{4} = \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}

f\!\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt2\,e^{5\pi/4} \approx -71{,}78

\textbf{Inflexiones: } \left(\frac{\pi}{4},\; \sqrt2\,e^{\pi/4}\right) \quad \text{y} \quad \left(\frac{5\pi}{4},\; -\sqrt2\,e^{5\pi/4}\right)

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Consejo

Simplifica cada derivada antes de seguir: $f'$ queda $2e^{x}\cos x$ y $f''$ queda $2e^{x}(\cos x-\operatorname{sen} x)$ . Sin simplificar, los estudios de signo son inviables.

Como $e^{x}>0$ siempre, los signos los deciden solo las funciones trigonométricas. Ese es el argumento que hay que escribir explícitamente.

Ojo al dominio $[0,2\pi]$ : la ecuación $\tan x = 1$ tiene dos soluciones ahí ( $\frac{\pi}{4}$ y $\frac{5\pi}{4}$ ), no una. Dar solo la primera cuesta medio apartado.