Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera el recinto limitado por las siguientes curvas

y = x^{2}, \qquad y = 2-x^{2}, \qquad y = 4

a) [1 punto] Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2} = 2-x^{2} \Rightarrow x = \pm1; \quad x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm2; \quad 2-x^{2} = 4 \ \text{sin solución}\;}

\boxed{\;\text{Borde inferior: } 2-x^{2} \text{ en } [-1,1]; \quad x^{2} \text{ en } 1\leq\lvert x\rvert\leq2\;}

\boxed{\;A = 2\left[\int_{0}^{1}\bigl(2+x^{2}\bigr)dx+\int_{1}^{2}\bigl(4-x^{2}\bigr)dx\right] = 2\left(\frac73+\frac53\right)\;}

\boxed{\;A = 8 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres curvas, así que hay tres pares de cortes que estudiar. Uno de ellos no existe, y eso ya da forma al recinto.

La clave es identificar bien la frontera inferior: como el recinto está bajo

y=4

, su borde de abajo es la más alta de las dos parábolas en cada zona, es decir,

2-x^{2}

cerca del origen y

x^{2}

a partir de

\lvert x\rvert = 1

.

Eso obliga a partir la integral en $x = \pm1$ . Y como todo es simétrico respecto del eje

OY

, basta calcular la mitad derecha y duplicar.

Desarrollo

a) Los cortes.

x^{2} = 2-x^{2} \;\Longrightarrow\; 2x^{2} = 2 \;\Longrightarrow\; x = \pm1 \qquad\Longrightarrow\qquad (-1,\,1) \ \text{ y } \ (1,\,1)

x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x = \pm2 \qquad\Longrightarrow\qquad (-2,\,4) \ \text{ y } \ (2,\,4)

2-x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x^{2} = -2 \qquad\Longrightarrow\qquad \textbf{sin solución real}

(La parábola invertida $y = 2-x^{2}$ tiene su máximo en $(0,2)$ , así que nunca llega a la altura $4$ .)

El recinto. Está limitado por arriba por la recta

y=4

y por abajo por:

la parábola $y = 2-x^{2}$ en $\lvert x\rvert\leq1$ (donde va por encima de $y=x^{2}$ ),
la parábola $y = x^{2}$ en $1\leq\lvert x\rvert\leq2$ .

b) El área. Por simetría respecto del eje

OY

, calculamos la mitad derecha y multiplicamos por

2

.

Tramo $[0,1]$ , entre

y=4

y = 2-x^{2}

\int_{0}^{1}\bigl[4-(2-x^{2})\bigr]dx = \int_{0}^{1}\bigl(2+x^{2}\bigr)dx = \left[2x+\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2+\frac13 = \frac{7}{3}

Tramo $[1,2]$ , entre

y=4

y = x^{2}

\int_{1}^{2}\bigl(4-x^{2}\bigr)dx = \left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \left(8-\frac83\right)-\left(4-\frac13\right) = \frac{16}{3}-\frac{11}{3} = \frac{5}{3}

El área total.

A = 2\left(\frac73+\frac53\right) = 2\cdot\frac{12}{3} = 2\cdot 4 = 8 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Estudia los tres pares de cortes. Que $2-x^{2} = 4$ no tenga solución no es un fallo: es justo lo que dice que la recta pasa por encima de esa parábola y cierra el recinto por arriba.

El borde inferior cambia en $x=\pm1$ , así que la integral hay que partirla ahí. Integrar $4-x^{2}$ en todo $[-2,2]$ daría $\frac{32}{3}\approx10{,}67$ , que es un recinto distinto (el que queda ignorando la parábola invertida).

Aprovecha la simetría par: media integral y multiplicar por $2$ . Es la mitad de trabajo y la mitad de oportunidades de equivocarse con los signos.