Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2.

a) [1,25 puntos] Calcula

\;\displaystyle\int x\operatorname{sen} x\,dx

.

b) [1,25 puntos] Sean las funciones

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definidas por

f(x) = -x^{2}+1 \qquad g(x) = x-1

Calcula el área del recinto limitado por sus gráficas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = x, \ dv = \operatorname{sen} x\,dx \;\Longrightarrow\; v = -\cos x\;}

\boxed{\;\int x\operatorname{sen} x\,dx = -x\cos x+\operatorname{sen} x+C\;}

\boxed{\;-x^{2}+1 = x-1 \Rightarrow x^{2}+x-2 = 0 \Rightarrow x = -2, \ x = 1\;}

\boxed{\;A = \int_{-2}^{1}\bigl[-x^{2}-x+2\bigr]dx = \frac76+\frac{10}{3} = \frac92\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Producto de un polinomio por una trigonométrica: integración por partes con el polinomio en $u$ (al derivarlo baja de grado).
b) Parábola contra recta: los cortes salen de una ecuación de segundo grado y se integra la diferencia entre ellos.

Son dos apartados independientes; el único enlace es que ambos son de cálculo integral.

Desarrollo

a) La integral por partes. Con

u = x

\;dv = \operatorname{sen} x\,dx

du = dx \qquad v = -\cos x

\int x\operatorname{sen} x\,dx = -x\cos x-\int(-\cos x)\,dx = -x\cos x+\int\cos x\,dx

= -x\cos x+\operatorname{sen} x+C

Comprobación (derivando):

\bigl(-x\cos x+\operatorname{sen} x\bigr)' = -\cos x+x\operatorname{sen} x+\cos x = x\operatorname{sen} x \;\checkmark

b) El área.

Los puntos de corte.

-x^{2}+1 = x-1 \;\Longrightarrow\; 0 = x^{2}+x-2 \;\Longrightarrow\; (x+2)(x-1) = 0

x = -2 \qquad \text{o} \qquad x = 1

f(-2) = -3 \qquad f(1) = 0

\text{Cortes: } (-2,\,-3) \qquad \text{y} \qquad (1,\,0)

¿Quién va arriba? En

x = 0

f(0) = 1 \qquad > \qquad g(0) = -1

La parábola está por encima en todo

[-2,1]

A = \int_{-2}^{1}\Bigl[\bigl(-x^{2}+1\bigr)-(x-1)\Bigr]dx = \int_{-2}^{1}\bigl[-x^{2}-x+2\bigr]dx

= \left[-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+2x\right]_{-2}^{1}

En $x = 1$ :

\;-\dfrac13-\dfrac12+2 = \dfrac{-2-3+12}{6} = \dfrac76

En $x = -2$ :

\;\dfrac83-2-4 = \dfrac{8-18}{3} = -\dfrac{10}{3}

A = \frac76-\left(-\frac{10}{3}\right) = \frac76+\frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac92

A = \frac92 = 4{,}5 \ \text{u}^{2}

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Consejo

En $\int x\operatorname{sen} x\,dx$ , el polinomio va en $u$ : al derivarlo desaparece. La elección contraria complicaría la integral en vez de simplificarla.

Cuidado con el doble signo: $\int\operatorname{sen} x\,dx = -\cos x$ , y al restarlo en la fórmula de partes se convierte en $+\operatorname{sen} x$ . Comprueba derivando.

En b), simplifica la diferencia $f-g = -x^{2}-x+2$ antes de integrar: es una sola parábola y evita arrastrar dos primitivas.