Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula el valor de

a>1

sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola

y = -x^{2}+a\,x

y la recta

y = x

\dfrac{4}{3}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;-x^{2}+ax = x \;\Longrightarrow\; x\bigl[(a-1)-x\bigr] = 0: \quad x = 0,\ x = a-1\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{a-1}\bigl[-x^{2}+(a-1)x\bigr]dx = \frac{(a-1)^{3}}{6}\;}

\boxed{\;\frac{(a-1)^{3}}{6} = \frac43 \;\Longrightarrow\; (a-1)^{3} = 8 \;\Longrightarrow\; a = 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema inverso con parámetro: se calcula el área en función de

a

y se despeja.

Los límites de integración son los cortes entre la parábola y la recta, y dependen de

a

. Al igualar, el término

x^{2}

no se cancela (solo lo tiene la parábola), así que la ecuación se factoriza sacando

x

factor común.

El resultado saldrá proporcional a

(a-1)^{3}

: una cúbica pura, muy cómoda de resolver.

Desarrollo

Puntos de corte.

-x^{2}+a x = x \;\Longrightarrow\; -x^{2}+(a-1)x = 0 \;\Longrightarrow\; x\bigl[(a-1)-x\bigr] = 0

x = 0 \qquad \text{y} \qquad x = a-1

Como

a>1

, se tiene

a-1>0

y el recinto está en

[0,\,a-1]

.

¿Quién va arriba? En un punto interior, por ejemplo

x = \dfrac{a-1}{2}

, la diferencia

\bigl(-x^{2}+ax\bigr)-x = -x^{2}+(a-1)x = x\bigl[(a-1)-x\bigr]

es positiva (producto de dos factores positivos): la parábola está por encima de la recta en todo el intervalo.

El área.

A = \int_{0}^{a-1}\Bigl[-x^{2}+(a-1)x\Bigr]dx = \left[-\frac{x^{3}}{3}+\frac{(a-1)x^{2}}{2}\right]_{0}^{a-1}

= -\frac{(a-1)^{3}}{3}+\frac{(a-1)^{3}}{2} = (a-1)^{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) = \frac{(a-1)^{3}}{6}

La ecuación.

\frac{(a-1)^{3}}{6} = \frac{4}{3} \;\Longrightarrow\; (a-1)^{3} = 8 \;\Longrightarrow\; a-1 = 2 \;\Longrightarrow\; a = 3

(La raíz cúbica real es única, y $a=3>1$ cumple la condición del enunciado.)

Comprobación. Con

a=3

: parábola

y = -x^{2}+3x

, recta

y = x

, cortes en

x=0

x=2

A = \int_{0}^{2}\bigl(-x^{2}+2x\bigr)dx = \left[-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\right]_{0}^{2} = -\frac{8}{3}+4 = \frac{4}{3} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los límites de integración dependen del parámetro. No los sustituyas por números "razonables": hay que integrar con $a-1$ en el extremo superior y dejar el área en función de $a$ .

La condición $a>1$ del enunciado no es decorativa: garantiza que $a-1>0$ , es decir, que el recinto está a la derecha del origen y que su área es $\frac{(a-1)^{3}}{6}$ y no su opuesta.

Si restas al revés (recta menos parábola) obtienes $-\frac{(a-1)^{3}}{6} = \frac43$ , sin solución con $a>1$ . Comprueba quién va arriba antes de integrar.