Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sean

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas por

f(x) = -\frac14 x^{2}+4 \qquad \text{y} \qquad g(x) = x^{2}-1

a) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = -2

.

b) [1,75 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta

y = x+5

. Calcula el área de este recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } f(-2) = 3, \ f'(-2) = 1 \;\Longrightarrow\; y = x+5\;}

\boxed{\;f\cap g: x = \pm2; \quad f\cap\text{recta}: (x+2)^{2} = 0 \ \text{(tangente)}; \quad g\cap\text{recta}: x = -2, 3\;}

\boxed{\;A_{1} = \int_{-2}^{2}\frac{(x+2)^{2}}{4}dx = \frac{16}{3}; \qquad A_{2} = \int_{2}^{3}(-x^{2}+x+6)\,dx = \frac{13}{6}\;}

\boxed{\;A = \frac{16}{3}+\frac{13}{6} = \frac{15}{2} = 7{,}5 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados están conectados: la recta tangente de a) es la recta

y = x+5

de b). Por eso toca a

f

(no la corta) en

x=-2

.

Para el área hay que localizar los tres vértices del recinto, que son los cortes dos a dos:

$f\cap g$ , $\;f\cap$ recta (tangencia), $\;g\cap$ recta.

El recinto se parte en dos tramos, porque la frontera inferior cambia de

f

g

Desarrollo

a) La recta tangente en $x = -2$ .

f(-2) = -\frac14\cdot4+4 = -1+4 = 3

f'(x) = -\frac{x}{2} \;\Longrightarrow\; f'(-2) = 1

y-3 = 1\cdot\bigl(x-(-2)\bigr) \;\Longrightarrow\; y = x+5

Es exactamente la recta del apartado b).

b) Los cortes.

$f$ con $g$ :

-\frac{x^{2}}{4}+4 = x^{2}-1 \;\Longrightarrow\; 5 = \frac54 x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x = \pm2

(-2,\,3) \qquad (2,\,3)

$f$ con la recta:

-\frac{x^{2}}{4}+4 = x+5 \;\Longrightarrow\; x^{2}+4x+4 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+2)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = -2 \ \text{(doble)}

Raíz doble = tangencia, coherente con a).

$g$ con la recta:

x^{2}-1 = x+5 \;\Longrightarrow\; x^{2}-x-6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3 \quad \text{o} \quad x = -2

(-2,\,3) \qquad (3,\,8)

El recinto. Las tres curvas pasan por

(-2,3)

. El recinto es un "triángulo curvilíneo" de vértices

(-2,\,3) \qquad (2,\,3) \qquad (3,\,8)

limitado por arriba siempre por la recta, y por abajo por

f

desde

x=-2

hasta

x=2

y por

g

desde

x=2

hasta

x=3

(en

x=2

las dos parábolas se cruzan y

g

pasa a ir por encima de

f

).

(Control en $x=0$ : recta $=5$ , $f = 4$ , $g = -1$ ; la recta va arriba.)

El área, en dos tramos.

A_{1} = \int_{-2}^{2}\left[(x+5)-\left(-\frac{x^{2}}{4}+4\right)\right]dx = \int_{-2}^{2}\left[\frac{x^{2}}{4}+x+1\right]dx

El integrando es un cuadrado perfecto:

\;\dfrac{x^{2}+4x+4}{4} = \dfrac{(x+2)^{2}}{4}

A_{1} = \left[\frac{(x+2)^{3}}{12}\right]_{-2}^{2} = \frac{4^{3}}{12}-0 = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}

A_{2} = \int_{2}^{3}\bigl[(x+5)-(x^{2}-1)\bigr]dx = \int_{2}^{3}\bigl[-x^{2}+x+6\bigr]dx

= \left[-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+6x\right]_{2}^{3} = \left(-9+\frac92+18\right)-\left(-\frac83+2+12\right) = \frac{27}{2}-\frac{34}{3} = \frac{81-68}{6} = \frac{13}{6}

Total.

A = \frac{16}{3}+\frac{13}{6} = \frac{32+13}{6} = \frac{45}{6} = \frac{15}{2} = 7{,}5 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando el corte de dos curvas da una raíz doble, es una tangencia: no se cruzan, se tocan. Aquí eso explica por qué el apartado a) y el b) hablan de la misma recta.

Con tres curvas hay que localizar los tres cortes dos a dos y ver dónde cambia la frontera. El punto $(2,3)$ parte la integral: antes va $f$ por debajo, después $g$ .

Reconocer $\frac{x^{2}}{4}+x+1 = \frac{(x+2)^{2}}{4}$ acelera mucho el primer tramo, pero integrar término a término da lo mismo. Lo que no se puede es olvidar el segundo tramo.