Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula un número positivo

a

, menor que $2$ , para que el recinto limitado por la parábola de ecuación

y = \frac12 x^{2}

y las dos rectas horizontales de ecuaciones

\;y = a\;

\;y = 2

, tenga un área de

\dfrac{14}{3}

unidades cuadradas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y = \tfrac{x^{2}}{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{2y}, \quad \text{anchura} = 2\sqrt{2y}\;}

\boxed{\;A(a) = \int_{a}^{2}2\sqrt2\,y^{1/2}dy = \frac{4\sqrt2}{3}\bigl(2^{3/2}-a^{3/2}\bigr) = \frac{16}{3}-\frac{4\sqrt2}{3}a^{3/2}\;}

\boxed{\;\frac{16}{3}-\frac{4\sqrt2}{3}a^{3/2} = \frac{14}{3} \;\Longrightarrow\; a^{3/2} = \frac{1}{2\sqrt2}\;}

\boxed{\;a = \frac12 \quad (0<a<2 \ \checkmark)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El recinto está limitado por dos rectas horizontales, así que sale mucho más cómodo integrar respecto de $y$ : para cada altura

y

, la anchura de la franja es la distancia entre las dos ramas de la parábola.

y = \frac{x^{2}}{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{2y} \;\Longrightarrow\; \text{anchura} = 2\sqrt{2y}

A(a) = \int_{a}^{2} 2\sqrt{2y}\,dy

(También se puede hacer en $x$ , restando dos regiones, pero el cálculo es más largo.)

Desarrollo

La anchura de la franja. Despejando

x

en la parábola:

x^{2} = 2y \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{2y}

Para una altura

y

entre

a

2

, la franja horizontal va de

-\sqrt{2y}

\sqrt{2y}

\text{anchura}(y) = 2\sqrt{2y} = 2\sqrt2\,\sqrt y

El área en función de $a$ .

A(a) = \int_{a}^{2} 2\sqrt2\,y^{1/2}\,dy = 2\sqrt2\left[\frac23 y^{3/2}\right]_{a}^{2} = \frac{4\sqrt2}{3}\left(2^{3/2}-a^{3/2}\right)

Con

2^{3/2} = 2\sqrt2

A(a) = \frac{4\sqrt2}{3}\cdot2\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}a^{3/2} = \frac{16}{3}-\frac{4\sqrt2}{3}\,a^{3/2}

Imponemos el área.

\frac{16}{3}-\frac{4\sqrt2}{3}\,a^{3/2} = \frac{14}{3} \;\Longrightarrow\; \frac{4\sqrt2}{3}\,a^{3/2} = \frac{2}{3}

a^{3/2} = \frac{2}{4\sqrt2} = \frac{1}{2\sqrt2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \left(\frac12\right)^{3/2}

a = \frac12

(Y cumple $0<a<2$ $\checkmark$ )

Comprobación.

A\!\left(\tfrac12\right) = \frac{16}{3}-\frac{4\sqrt2}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt2} = \frac{16}{3}-\frac{4}{3\cdot2} = \frac{16}{3}-\frac23 = \frac{14}{3} \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando el recinto está limitado por rectas horizontales, integra en $y$ : la anchura de cada franja es $x_{\text{der}}-x_{\text{izq}}$ . Evitas partir la integral y restar regiones.

No olvides el factor 2 de la anchura: la parábola tiene dos ramas ( $x = \pm\sqrt{2y}$ ). Integrar solo $\sqrt{2y}$ da la mitad del área.

Al despejar, reconoce $\frac{1}{2\sqrt2} = 2^{-3/2}$ : así $a^{3/2} = \left(\frac12\right)^{3/2}$ y $a = \frac12$ sale de un vistazo, sin elevar a $\frac23$ .