Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2024 · Junio

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Considera la función continua

f

definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x\cos(x) - a\operatorname{sen}(x)}{x^{3}} & \text{si } x < 0 \\[10pt] b\cos(x) - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}

Calcula

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a = 1 \qquad\qquad b = \frac{2}{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La palabra clave del enunciado es continua: no hay que estudiar si lo es, se nos dice que lo es y de ahí salen las dos ecuaciones.

La rama de la izquierda es una indeterminación

\frac{0}{0}

x=0

. Su límite existirá (finito) solo para un valor de

a

: el que haga que el numerador se anule con el mismo orden que

x^{3}

. Ese es el primer parámetro. Una vez conocido el límite por la izquierda, se iguala al valor de la función por la derecha,

f(0) = b - 1

, y sale

b

.

Es decir: $a$ sale del límite y $b$ del empalme, en ese orden.

Desarrollo

Paso 1: el límite por la izquierda. Llamemos

N(x) = x\cos(x) - a\operatorname{sen}(x)

D(x) = x^{3}

. En

x=0

N(0) = 0\cdot 1 - a\cdot 0 = 0, \qquad D(0) = 0

Hay indeterminación

\frac{0}{0}

para cualquier

a

, así que aplicamos L'Hôpital:

N'(x) = \cos(x) - x\operatorname{sen}(x) - a\cos(x) = (1-a)\cos(x) - x\operatorname{sen}(x)

D'(x) = 3x^{2}

Evaluando en

0

\;N'(0) = 1 - a\;

\;D'(0) = 0

.

Paso 2: la condición sobre $a$ . Si

1 - a \neq 0

, el cociente

\frac{N'}{D'}

tendría numerador tendiendo a un valor no nulo y denominador tendiendo a

0

: el límite sería infinito y

f

no podría ser continua en

0

. Por tanto

1 - a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

Paso 3: el valor del límite. Con

a = 1

queda

N'(x) = -x\operatorname{sen}(x)

, y

\lim_{x\to 0^{-}} \frac{-x\operatorname{sen}(x)}{3x^{2}} = \lim_{x\to 0^{-}} \frac{-\operatorname{sen}(x)}{3x} = -\frac{1}{3}

(usando $\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1$ ; también valdría una tercera aplicación de L'Hôpital).

Comprobación con desarrollos de Taylor. Con

\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2}+\cdots

\operatorname{sen} x = x - \frac{x^{3}}{6}+\cdots

N(x) = \left(x - \frac{x^{3}}{2}\right) - a\left(x - \frac{x^{3}}{6}\right) + \cdots = (1-a)\,x + \left(\frac{a}{6} - \frac{1}{2}\right)x^{3} + \cdots

Para que

\frac{N(x)}{x^{3}}

tenga límite finito hace falta

a=1

, y entonces el límite es el coeficiente de

x^{3}

\frac{1}{6} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}

Paso 4: la continuidad en $x=0$ da $b$ . Por la derecha, la función vale

f(0) = b\cos(0) - 1 = b - 1

y para que

f

sea continua en

0

debe coincidir con el límite por la izquierda:

b - 1 = -\frac{1}{3} \;\Longrightarrow\; b = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

(En $x<0$ y en $x>0$ la función es continua por ser cocientes y composiciones de funciones continuas con denominador no nulo, así que $x=0$ era el único punto a ajustar.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Aquí "continua" no es algo que haya que demostrar: es el dato. Y produce dos condiciones en cadena, no una: primero que el límite por la izquierda exista (eso fija $a$ ) y después que coincida con $f(0)$ (eso fija $b$ ).

Los criterios dan hasta $1$ punto solo por calcular $a$ . Si te atascas ahí, escribe al menos la comprobación de la indeterminación y la primera derivada: son puntos seguros. Y ojo al derivar $x\cos(x)$ como producto: $\cos(x) - x\operatorname{sen}(x)$ .