Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2011 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta

100

euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta

10

euros el metro.

¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con

3000

euros?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;100x+10\,(x+2y) = 3000 \;\Longrightarrow\; 110x+20y = 3000\;}

\boxed{\;y = 150-\tfrac{11x}{2}, \qquad A(x) = 150x-\tfrac{11x^{2}}{2}\;}

\boxed{\;A'(x) = 150-11x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{150}{11} \quad (A'' = -11<0)\;}

\boxed{\;x = \tfrac{150}{11}\approx13{,}64\ \text{m}, \quad y = 75\ \text{m}, \quad A_{\max} = \tfrac{11250}{11}\approx1022{,}7\ \text{m}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí la ligadura no es el perímetro, sino el coste: los cuatro lados no valen lo mismo.

Si

x

es el lado paralelo a la carretera e

y

los otros dos:

lado caro (carretera): $x$ metros a $100$ €/m,
resto del vallado: $x+2y$ metros a $10$ €/m.

100x+10\,(x+2y) = 3000

Se despeja

y

, se sustituye en

A = xy

y se deriva.

Desarrollo

Variables.

x

= lado junto a la carretera,

y

= lado perpendicular a ella.

La ligadura del presupuesto.

100x+10\,(x+2y) = 3000 \;\Longrightarrow\; 110x+20y = 3000

y = \frac{3000-110x}{20} = 150-\frac{11x}{2}

El área.

A(x) = x\,y = x\left(150-\frac{11x}{2}\right) = 150x-\frac{11x^{2}}{2}

El dominio útil es

0<x<\dfrac{300}{11}

(para que

y>0

).

Derivamos.

A'(x) = 150-11x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{150}{11} \approx 13{,}64 \ \text{m}

Es máximo:

A''(x) = -11 < 0 \;\checkmark

La otra dimensión.

y = 150-\frac{11}{2}\cdot\frac{150}{11} = 150-75 = 75 \ \text{m}

\textbf{Lado junto a la carretera: } \frac{150}{11}\approx13{,}64\ \text{m} \qquad \textbf{Lado perpendicular: } 75\ \text{m}

A_{\max} = \frac{150}{11}\cdot75 = \frac{11250}{11} \approx 1022{,}73 \ \text{m}^{2}

Comprobación del presupuesto.

110\cdot\frac{150}{11}+20\cdot75 = 1500+1500 = 3000 \ \text{euros} \;\checkmark

(Curioso: en el óptimo se gasta exactamente la mitad del presupuesto en cada tipo de valla.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee con cuidado qué lados son caros: solo uno da a la carretera. El coste es $100x+10(x+2y)$ , no $100x+10\cdot2y$ (falta el lado opuesto a la carretera, que también se valla).

La restricción es de presupuesto, no de perímetro. El planteamiento es idéntico, pero los coeficientes cambian; si sale un número redondo tipo "perímetro $=300$ ", sospecha.

Comprueba al final que las dimensiones agotan el presupuesto: es la verificación natural de este tipo de problema.