Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Calcula

\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\infty - \infty \;\Longrightarrow\; \text{común denominador}: \quad L = \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x - x\cos x}{x\operatorname{sen} x}\;}

\boxed{\;\overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to 0}\frac{x\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + x\cos x} \;\overset{\text{L'H}}{=}\; \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x + x\cos x}{2\cos x - x\operatorname{sen} x}\;}

\boxed{\;L = \frac{0}{2} = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tal cual está, es una indeterminación

\infty - \infty

: los dos sumandos se disparan. L'Hôpital no se puede aplicar directamente a una resta.

El primer paso obligatorio es reducir a común denominador para convertirla en un cociente:

\frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = \frac{\operatorname{sen} x - x\cos x}{x\operatorname{sen} x}

Ahora sí es

\frac{0}{0}

y se puede usar L'Hôpital, que habrá que aplicar dos veces.

Desarrollo

Reducción a común denominador.

L = \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x - x\cos x}{x\,\operatorname{sen} x}

x=0

: numerador

0 - 0 = 0

; denominador

0

. Indeterminación $\frac00$ .

Primera aplicación de L'Hôpital.

Derivada del numerador:

\bigl(\operatorname{sen} x - x\cos x\bigr)' = \cos x - \bigl(\cos x - x\operatorname{sen} x\bigr) = x\operatorname{sen} x

Derivada del denominador:

\bigl(x\operatorname{sen} x\bigr)' = \operatorname{sen} x + x\cos x

L = \lim_{x\to 0}\frac{x\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + x\cos x}

x=0

\;0\;

\;0 + 0 = 0

. Sigue siendo $\frac00$ .

Segunda aplicación.

Numerador:

\;\bigl(x\operatorname{sen} x\bigr)' = \operatorname{sen} x + x\cos x

Denominador:

\;\bigl(\operatorname{sen} x + x\cos x\bigr)' = \cos x + \cos x - x\operatorname{sen} x = 2\cos x - x\operatorname{sen} x

L = \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x + x\cos x}{2\cos x - x\operatorname{sen} x} = \frac{0 + 0}{2 - 0} = \frac{0}{2} = 0

L = 0

Comprobación con desarrollos de Taylor.

\operatorname{sen} x - x\cos x = \left(x - \frac{x^{3}}{6}\right) - x\left(1 - \frac{x^{2}}{2}\right) + \cdots = \frac{x^{3}}{3} + \cdots

x\operatorname{sen} x = x^{2} + \cdots

L = \lim_{x\to 0}\frac{x^{3}/3}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{3} = 0 \quad \checkmark

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Consejo

L'Hôpital no se aplica a una resta. Ante $\infty - \infty$ hay que transformar primero en un cociente, normalmente reduciendo a común denominador. Derivar cada sumando por separado es un error grave.

Al derivar $x\cos x$ , la regla del producto deja $\cos x - x\operatorname{sen} x$ , y al restarlo de $\cos x$ los cosenos se cancelan: el numerador queda simplemente $x\operatorname{sen} x$ . Esa simplificación es lo que hace manejable la segunda vuelta.

Y comprueba la indeterminación después de cada aplicación: aquí hacen falta dos. Como control mental, los desarrollos $\operatorname{sen} x - x\cos x \sim \frac{x^{3}}{3}$ y $x\operatorname{sen} x \sim x^{2}$ dan el cociente $\frac{x}{3}\to 0$ de inmediato.