Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2022 · Julio

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = -x^{2} + 12

y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Vértices: } (-2,0), \; (2,0), \; (2,8), \; (-2,8)\;}

\boxed{\;\text{Base } = 4, \quad \text{Altura } = 8, \qquad A_{\max} = 32 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La parábola es par, así que el recinto es simétrico respecto del eje

OY

y el rectángulo óptimo también lo será. Con la base sobre el eje

OX

, basta una variable: si el vértice superior derecho está en

(x, f(x))

, la base mide

2x

y la altura es

f(x)

.

Conviene acotar el dominio con los cortes de la parábola con el eje, porque fuera de ellos la "altura" sería negativa y el rectángulo no existiría.

Y como el enunciado pide los vértices, no basta con dar las dimensiones: hay que escribir los cuatro puntos.

Desarrollo

Cortes con el eje de abscisas.

-x^{2} + 12 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 12 \;\Longrightarrow\; x = \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3{,}46

Función a maximizar. Con el vértice superior derecho en la abscisa

x

, con

0 < x < 2\sqrt{3}

\text{base} = 2x, \qquad \text{altura} = f(x) = 12 - x^{2}

A(x) = 2x\bigl(12 - x^{2}\bigr) = 24x - 2x^{3}

Derivada y punto crítico.

A'(x) = 24 - 6x^{2} = 6\bigl(4 - x^{2}\bigr)

A'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2} = 4 \;\Longleftrightarrow\; x = 2 \quad (\text{la raíz } x = -2 \text{ no está en el dominio})

Comprobación de que es máximo.

A''(x) = -12x, \qquad A''(2) = -24 < 0 \;\Longrightarrow\; \text{máximo}

(También se ve por el signo de $A'$ : positiva en $(0,2)$ y negativa en $\left(2, 2\sqrt{3}\right)$ .)

Dimensiones y vértices.

\text{base} = 2\cdot 2 = 4, \qquad \text{altura} = 12 - 4 = 8

Los cuatro vértices son

(-2, 0), \qquad (2, 0), \qquad (2, 8), \qquad (-2, 8)

(Los dos superiores están sobre la parábola: $f(\pm 2) = -4 + 12 = 8\;\checkmark$ .)

Área máxima.

A_{\max} = 4 \cdot 8 = 32 \ \text{unidades cuadradas}

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Consejo

Con la base sobre el eje $OX$ y la parábola simétrica, la altura es directamente $f(x)$ . El error clásico es escribir $A = x\,f(x)$ olvidando que la base es $2x$ : el punto crítico sale igual (porque el factor $2$ no cambia dónde se anula la derivada), pero el área queda a la mitad ( $16$ en vez de $32$ ) y la base, mal medida.

El enunciado pide los vértices, en plural. Da los cuatro puntos explícitamente; con "el rectángulo mide $4 \times 8$ " has resuelto el problema pero no has contestado a lo que se preguntaba.