Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2024 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque B). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \int_{0}^{x} \cos(t)\operatorname{sen}^{2}(t)\,dt

Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = \dfrac{\pi}{4}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Punto: } \left(\frac{\pi}{4},\ \frac{\sqrt{2}}{12}\right), \qquad f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\;}

\boxed{\;\text{Tangente: } y = \frac{\sqrt{2}}{4}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{16} + \frac{\sqrt{2}}{12}\;}

\boxed{\;\text{Normal: } y = -2\sqrt{2}\,x + \frac{\sqrt{2}\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{12}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La función viene dada como una integral con límite superior variable, y ahí interviene el teorema fundamental del cálculo: la derivada de

f

es el integrando evaluado en

x

f'(x) = \cos(x)\operatorname{sen}^{2}(x)

Así que la pendiente sale sin integrar nada. Lo único que exige integrar es la ordenada del punto,

f\left(\frac{\pi}{4}\right)

, y esa integral es inmediata:

\cos t

es la derivada de

\operatorname{sen} t

, así que el integrando es de la forma

u^{2}u'

y la primitiva es

\frac{\operatorname{sen}^{3}t}{3}

Desarrollo

Pendiente (teorema fundamental del cálculo). Como el integrando es continuo en

\mathbb{R}

f'(x) = \cos(x)\operatorname{sen}^{2}(x)

f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cdot\operatorname{sen}^{2}\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}

Ordenada. La primitiva de

\cos t\operatorname{sen}^{2}t

\dfrac{\operatorname{sen}^{3}t}{3}

(integral de tipo

u^{2}u'

f\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left[\frac{\operatorname{sen}^{3}(t)}{3}\right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3} - 0 = \frac{1}{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{12}

El punto de tangencia es

\left(\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\sqrt{2}}{12}\right)

.

Recta tangente.

y - \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{4}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

o, despejando,

y = \frac{\sqrt{2}}{4}\,x - \frac{\sqrt{2}\,\pi}{16} + \frac{\sqrt{2}}{12}

Recta normal. Su pendiente es la opuesta de la inversa:

m_{N} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}

y - \frac{\sqrt{2}}{12} = -2\sqrt{2}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \;\Longrightarrow\; y = -2\sqrt{2}\,x + \frac{\sqrt{2}\,\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{12}

Comprobación numérica rápida:

f\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 0{,}1179

f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 0{,}3536

m_{N} \approx -2{,}83

; el producto de las dos pendientes es

\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot(-2\sqrt{2}) = -1

✓, como corresponde a rectas perpendiculares.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No te lances a integrar para hallar la pendiente: el teorema fundamental del cálculo te la da gratis, $f'(x) = \cos x\operatorname{sen}^{2}x$ . Integrar solo hace falta para la ordenada del punto, y esa integral es inmediata de tipo $u^{2}u'$ .

Y fíjate en el límite inferior $0$ : de ahí sale que $f(0) = 0$ y que la primitiva se evalúa entre $0$ y $\frac{\pi}{4}$ . Con $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ las cuentas quedan limpias; racionaliza también la pendiente de la normal ( $-\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ ) para no dejar raíces en el denominador.