Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Junio

Enunciado

Ejercicio 2. Determina la única función derivable

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

que cumple que

f(0) = 1

f'(0) = 1

f''(x) = e^{x}\,(x + 2)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = (x+1)\,e^{x}\;}

\boxed{\;f(x) = x\,e^{x} + 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integración en dos pasos: se conoce

f''

y hay que llegar a

f

. Cada integración deja una constante y cada dato la fija, en el orden natural:

$f'(0) = 1$ determina la constante de la primera integración.
$f(0) = 1$ determina la de la segunda.

Las dos integrales son del tipo

\int x\,e^{x}dx

, que se resuelve por partes con

u = x

. Y conviene tener presente el resultado

\int x\,e^{x}\,dx = (x-1)\,e^{x}

porque aparece en las dos.

Un detalle bonito: las primitivas se simplifican muchísimo, y la función final es sorprendentemente sencilla.

Desarrollo

Primera integración: de $f''$ a $f'$ .

f'(x) = \int e^{x}\,(x+2)\,dx = \int x\,e^{x}\,dx + 2\int e^{x}\,dx

Con

\int x e^{x}dx = (x-1)e^{x}

f'(x) = (x-1)e^{x} + 2e^{x} + C_{1} = (x+1)\,e^{x} + C_{1}

Constante con $f'(0) = 1$ .

f'(0) = (0+1)e^{0} + C_{1} = 1 + C_{1} = 1 \;\Longrightarrow\; C_{1} = 0

f'(x) = (x+1)\,e^{x}

Segunda integración: de $f'$ a $f$ .

f(x) = \int (x+1)\,e^{x}\,dx = \int x\,e^{x}\,dx + \int e^{x}\,dx = (x-1)e^{x} + e^{x} + C_{2}

f(x) = x\,e^{x} + C_{2}

Constante con $f(0) = 1$ .

f(0) = 0\cdot e^{0} + C_{2} = C_{2} = 1

f(x) = x\,e^{x} + 1

Comprobación. Derivando dos veces:

f'(x) = e^{x} + x\,e^{x} = (x+1)e^{x} \quad \checkmark

f''(x) = e^{x} + (x+1)e^{x} = (x+2)e^{x} \quad \checkmark

y los datos:

f(0) = 0 + 1 = 1\;\checkmark

f'(0) = 1\cdot 1 = 1\;\checkmark

.

(La palabra "única" del enunciado está justificada: con dos condiciones iniciales, las dos constantes quedan determinadas y no hay más funciones posibles.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Usa cada dato en su nivel: $f'(0)$ fija la constante de $f'$ y $f(0)$ la de $f$ . Si arrastras las dos constantes hasta el final tienes que resolver un sistema donde no hace falta ninguno.

Fíjate en cómo se simplifican las expresiones: $(x-1)e^{x} + 2e^{x} = (x+1)e^{x}$ y luego $(x-1)e^{x} + e^{x} = x\,e^{x}$ . Agrupar en cada paso mantiene las cuentas limpias; si dejas los términos sueltos, la segunda integración se vuelve mucho más pesada.