Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sean

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas por

f(x) = x^{2}+|x| \qquad g(x) = 2

a) [1 punto] Determina los puntos de corte de las gráficas de

f

g

. Esboza dichas gráficas.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x\geq0: \ x^{2}+x = 2 \Rightarrow x^{2}+x-2 = 0 \Rightarrow x = 1 \ (x=-2 \text{ no vale})\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (\pm1,\,2); \ \text{arriba va } g \ \bigl(g(0) = 2 > f(0) = 0\bigr)\;}

\boxed{\;A = 2\int_{0}^{1}\bigl[2-x^{2}-x\bigr]dx \quad (\text{integrando par})\;}

\boxed{\;A = 2\cdot\frac76 = \frac73 \approx 2{,}33 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

f

es par (

f(-x) = f(x)

) y

g

es constante, así que todo es simétrico respecto del eje

Y

: basta resolver en

x\geq0

(donde

|x| = x

) y duplicar el área.

Además,

f(x) = x^{2}+|x| \geq 0

y solo vale

0

x=0

: la gráfica es una "uve suavizada" con vértice en el origen.

Desarrollo

a) Los puntos de corte. Para

x\geq0

(

|x| = x

x^{2}+x = 2 \;\Longrightarrow\; x^{2}+x-2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+2)(x-1) = 0

x = 1 \qquad \text{o} \qquad x = -2 \ \text{(descartada: no es } \geq0)

Por simetría, el otro corte es

x = -1

\text{Cortes: } (-1,\,2) \qquad \text{y} \qquad (1,\,2)

Las gráficas.

$f(x) = x^{2}+|x|$ : para $x\geq0$ es la parábola $x^{2}+x$ y para $x\leq0$ , la parábola $x^{2}-x$ . Vértice en el origen, con un pico ahí (no derivable en $x=0$ ), y siempre creciente al alejarse del origen.
$g(x) = 2$ : recta horizontal.

b) El área. ¿Quién va arriba? En

x = 0

g(0) = 2 \qquad > \qquad f(0) = 0

La recta está por encima en todo

[-1,1]

A = \int_{-1}^{1}\Bigl[2-\bigl(x^{2}+|x|\bigr)\Bigr]dx

Aprovechando la paridad (el integrando es par):

A = 2\int_{0}^{1}\bigl[2-x^{2}-x\bigr]dx = 2\left[2x-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}

= 2\left(2-\frac13-\frac12\right) = 2\cdot\frac{12-2-3}{6} = 2\cdot\frac76 = \frac73

A = \frac73 \approx 2{,}33 \ \text{u}^{2}

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Consejo

Con valor absoluto, parte en tramos antes de resolver la ecuación: al hacer $|x| = x$ (solo válido si $x\geq0$ ) aparece $x=-2$ , que hay que descartar.

Si el integrando es par, integra en $[0,1]$ y multiplica por $2$ . Menos cuentas y ningún riesgo de equivocarse con el signo del valor absoluto.

La gráfica de $x^{2}+|x|$ tiene un pico en el origen: es continua pero no derivable ahí. Conviene señalarlo en el esbozo, aunque el enunciado no lo pida.